289. Beliebig begrenztes Integrationsgebiet 169 
Schneidet auch jede Transversale parallel zu OX die Randkurve 
zweimal, wie es in Fig. 139 der Fall ist, so gibt die Integration nach x 
bei festem y / x {y) 
f 'f{cc, y) dx, 
Xo(y) 
wobei Xo(y)> %i(y) zu V gehörigen Abszissen von C sind, und die ab 
schließende Integration nach y liefert 
d Xi(>J) 
J dyj f(x,y)dx, (16) 
0 Xo (sO 
wobei das Intervall (c, d) zwischen den zu OX parallelen Tangenten (oder 
Streiflinien) an C enthalten ist. 
Die Vergleichung der beiden Darstellungsformen (14) und (16) des 
Doppelintegrals (15) ergibt dann eine Verallgemeinerung des in 286 
hervorgehobenen Satzes von der Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Inte 
grationen, wobei aber zu bemerken ist, daß hier nicht auch wie dort die 
Grenzen mit vertauscht werden; vielmehr sind die Grenzen der erst 
maligen Integration abhängig von der Variablen, nach welcher zum 
zweitenmal integriert wird, und nur die Grenzen der zweiten Integration 
sind feste Zahlen. 
Mit dem obigen ist zugleich die Bedeutung eines zweifachen Inte 
grals, wie es am Schlüsse von 286 in (5) erwähnt worden ist, näher 
erläutert. 
Hat das Integrationsgebiet eine solche Gestalt, daß sein Rand von 
Transversalen parallel zu den Achsen auch in mehr als zwei Punkten ge 
troffen wird, so muß es in Teile zerlegt werden, welche den oben ge 
forderten Bedingungen genügen; für jeden dieser Teile hat die Ausrech 
nung nach dem Schema (14) oder (16) für sich zu geschehen. 
Auch ein Doppelintegral mit krummlinig begrenztem Gebiete kann 
als Grenzwert einer Doppelsumme von der Zusam 
mensetzung (7) angesehen werden. Umschreibt man 
P ein Rechteck (Fig. 140), zerlegt dieses in ein Netz 
von Teilrechtecken und bildet die Summen S n {T), 
S(T), S 0 (T) über alle Teilrechtecke, welche voll 
ständig innerhalb P liegen, so beziehen sich diese 
Doppelsummen nicht auf das ganze Gebiet P, son 
dern nur auf eine ihm eingeschriebene Figur mit