172 III. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
durch die krumme Fläche (17) begrenzt ist, mag s von welchem Punkte 
von efgh immer ausgehen. 
Das Element 
udx 
des einfachen Integrals (19) gibt, mit Vernachlässigung von Größen höherer 
Ordnung in bezug auf dx, das Volumen einer Körperschichte zwischen 
den um dx voneinander entfernten Querschnitten QRTS und Q'R'T'S'. 
291. Einführung neuer Variablen in einem Doppelinte 
gral. Eine weitere bedeutsame Verallgemeinerung des Begriffs des Dop- 
pelintegrals besteht darin, daß man neben der bisher geübten Teilung 
des Integrationsgebiets in rechteckige Elemente mit zu den Achsen 
parallelen Seiten auch andere Teilungen zuläßt. Das über ein Gebiet P 
ausgedehnte Doppelintegral hat nämlich immer denselben Wert, wie man 
auch P teilen mag, wenn nur dafür gesorgt ist, daß sich die Gesamtheit 
der innerhalb P enthaltenen Elemente dem P als Grenze nähert und daß 
die Ausdehnung jedes Elementes nach allen Richtungen gegen Null kon 
vergiert. In dieser Auffassung werde das Integral mit 
bezeichnet. 
p 
Mit dieser Verallgemeinerung des Begriffs des Doppelintegrals hängt 
seine Umgestaltung durch Einführung neuer Variablen eng zusammen. 
Dieser Prozeß aber stellt sich als ein wichtiges Hilfsmittel der Aus 
wertung von Doppelintegralen dar. Die Anpassung der Gebietseinteilung 
an die Natur der zu integrierenden Funktion ist von wesentlicher Be 
deutung nicht nur für den eigentlichen Integrationsprozeß, sondern auch 
für die Feststellung der Integrationsgrenzen, die anders sich sehr schwierig 
und umständlich gestalten kann. 
In dem Integral ff f{X;y)dxdy 
(20) 
P 
seien an Stelle der Variablen x, y zwei neue Variable u, v durch die 
ein-einheutige kontinuierliche Transformation (64) 
x — rp{ u, v) 
y = ^(tt, v) 
(21) 
einzuführen. Von den Funktionen (p, wird vorausgesetzt, daß sie auch 
stetige Ableitungen nach u und v haben.