2 I. Abschnitt. § 1. Das bestimmte und das unbestimmte Integral 
zu einer formalen Lösung der durch (2) gestellten Aufgabe wie folgt 
gelangen. 
Es seien a, x zwei voneinander verschiedene Stellen aus dem Be 
reiche (a, ß), a<x. Man teile ihr Intervall (a, x) durch n — 1 Zwischen- 
stellen x t , x 2 ,. . ., x n _ x in n kleinere Intervalle: 
(a f xf) } (x v xf) } . . (x t , _ 1 , xf), . . ., (x n _ j, x). (b) 
Nach dem Mittelwertsatze gibt es in (x v _ 1) x v ) wenigstens eine 
Stelle £ r , an der F(x v ) - F(x r _f) = (x v -x v _ t )f(£ v ). (4) 
Setzt man hierin nach und nach v = 1, 2, . . n, so ergibt sich das Glei 
chungssystem: F(pc x ) — F(a) = (x i - «)/’(£i) 
F(x 2 ) - F(xf) = (x 2 - xf) f(i 2 ) 
F(x) - F(x n _ x ) = ix - x n _f)f{t n ) 
und daraus durch Summierung die Gleichung: 
F{x) - F{d) = - a) f($ t ) + (fr - ffa) + ■■■ 
+ ( x ~ x n-i) fÜn) x r-i)f(X)- 
i 
Durch diese Gleichung ist die Änderung, welche die zu bestimmende 
Funktion bei dem Übergänge von a zu x erfährt, dargestellt, und zwar 
in Werten der gegebenen Funktion. Es steht frei, den Wert F{d) be 
liebig anzunehmen; Fix) ist dann bestimmt. 
Die Gleichung (5) besteht zurecht, in welcher Weise und Anzahl 
die Teilintervalle (3) von (a, x) gebildet sein mögen. Sie stellt aber nur 
eine formale und nicht eine praktische Lösung* der Aufgabe dar, weil d e 
Ausführung der auf der rechten Seite vorgeschriebenen Summation an 
der Unkenntnis der Zwischenwerte £ 2 , . . | ?i scheitert; denn diese 
Zwischenwerte sind außer von den Teilintervallen auch von der Natur 
der erst zu bestimmenden Funktion Fix) abhängig. 
Zu einer wirklichen Lösung werden die Untersuchungen des nächsten 
Artikels führen. 
226. Begriff des bestimmten Integrals. Es sei (a, ß) der Be 
reich der gegebenen eindeutigen und stetigen Funktion f(x). Demselben 
gehöre das Intervall (a,b), wobei a < b, ganz an und werde durch die 
steigende Zahlenfolge