174 Hl. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
bei dem Übergang von e nach ti, wobei u konstant bleibt, geht e nach 
h und die Koordinaten ändern sich um 
demnach ist das stets ebenso wie P positiv genommene dP, als das 
Doppelte des Dreiecks efh gerechnet, gleich dem absoluten Betrage von 
dv dv 
setzt man ein für allemal fest, daß die Differentiale der Integrations 
variablen als positiv zu gelten haben, so ist 
dP = | J | du dv zu setzen. (23) 
Hiernach ergibt sich als Endresultat für (20): 
Es ist also das vor gelegte Integral der Funktion f(cc, y) gleich dem 
Integrale der Funktion f(cp,il>)\J\ der neuen Variablen, erstreckt über das 
transformierte Gebiet P' bei Teilung desselben in Elemente dudv. 
Die Grenzen der einzelnen Integrationen sind aus der Randkurve 
C ebenso zu bestimmen, wie dies in 289 für C erklärt worden ist. 
Der ganze Vorgang läßt aber noch eine andere Auffassung zu, wenn 
man u, v nicht wieder als neue rechtwinklige Koordinaten, sondern als 
Parameter ansieht, durch welche x, y ausgedrückt werden. 
Während v konstant bleibt, beschreibt der Punkt xjy eine Kurve (v), 
und während u konstant bleibt, beschreibt xjy eine Kurve (u): der Punkt 
xjy = e selbst erscheint als Schnittpunkt dieser Kurven, und deshalb 
nennt man u, v krummlinige Koordinaten des Punktes e. Mit andern 
Worten: den früheren Teilungslinien von P' entsprechen zwei Systeme 
krummliniger Teilungslinien von P, und das durch vier solche Linien, 
je zwei aus jedem Systeme, begrenzte Element von P ist durch j J\ dudv 
gegeben. 
Legt man diese Auffassung zugrunde, so wird die Funktion f(cp, 4>) 
der neuen Variablen wieder auf dem Gebiete P integriert, wobei j J\ dudv