178 III. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
nähert; existiert ein solcher Grenzwert nicht, so hat das betreffende 
Doppelintegral keine Bedeutung. 
In ähnlicher Weise wird ein über ein unendliches Gebiet sich er 
streckendes Doppelintegral durch den Grenzwert eines über ein endliches 
Gebiet sich ausdehnenden Integrals definiert, wenn die 
ses Gebiet unbegrenzt sich erweitert, vorausgesetzt wie 
der, daß ein solcher Grenzwert wirklich existiert. 
0 a 
Beispiele. 1. Für das über das Rechteck OC (Fig, 
C 145) ausgedehnte Integral der Funktion f xy (x, y) ergibt 
sich nach den Ausführungen in 286 der folgende Wert: 
b- 
Y 
Fig. 145. 
(OC) 0 ö 
= f(a. b) - f(a, 0) - f(0, b) + f(0, 0); 
in gleicher Weise ist 
fjf.,1*, y) dx d v = /■(«» ß) — fX a , 0) — m ß) + °) ; 
(or) 
das über das hexagonale Gebiet P erstreckte Integra! ist der Unterschied 
beider, also 
p 
Von dieser letzten Formel kann in dem Falle Gebrauch gemacht 
werden, wenn f xy (x, y) bei Annäherung an die Stelle 0/0 unendlich wird, 
ohne sonst Unstetigkeit zu zeigen; nur wenn dann der rechtstehende 
Ausdruck für beliebige Grenzübergänge lim «==-1-0, lim ß = -f 0 einer 
bestimmten Grenze sich nähert, hat das Integral über (OC) unter den 
bemerkten Umständen einen bestimmten Wert. 
Ein solcher Fall entsteht beispielsweise, wenn 
f( x , V) = a rctg I, 
weil dann 
für lim x = 0, limy = 0 unendlich wird; hier ist nun f(a,0) = arctgO = 0, 
/'(0, b) = y, ebenso f(oc, 0) = 0 und f(0, ß) 
folglich