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III. Abschnitt. § 6. Drei- und mehrfache Integrale 
so entsteht ein n-faches bestimmtes Integral jener Punktion, das bei der 
Reihenfolge x n ,x. n _ if unter Beifügung der Grenzen zu schreiben wäre 
(44) 
Bin solches Integral ist zugleich der Grenzwert einer «-fachen 
Summe von dem Baue 
Ax t Ax 2 . . . Ax ni 
(45) 
welche sich auf solche Wertverbindungen der Variablen bezieht, die einer 
oder mehreren Bedingungen der Form 
F(oc 
genügen, für gegen Null abnehmende Ax x , Ax 2 , . . ., Ax n . 
Die Ausdrucksweise der früheren Fälle beibehaltend nennt man die 
sen Grenzwert das über den «-dimensionalen Raum K, der durch die eben 
erwähnten Bedingungen gekennzeichnet ist, ausgedehnte «-fache Inte 
gral und gebraucht dafür das Symbol 
(46) 
K 
Auch die Ausführung einer ein-eindeutigen Transformation 
x x = 9o x (u x , «*, • • u n ) 
— (p 2 (u x , «2 • ‘ ‘ > Wji) 
(47) 
n 
auf (46) führt zu einem ähnlichen Resultate wie bei zwei und drei Va 
riablen, indem das vorgelegte «-fache Integral sich verwandelt in 
K 
wobei K, je nach der Auffassung, wieder das ursprüngliche oder jenes 
Gebiet ist, dessen „Begrenzung" aus derjenigen des ursprünglichen Ge 
biets durch die Substitution (47) hervorgeht, während J die Jacobische 
Determinante der Funktionen <p lf <p 2 , . . cp n bedeutet, also 
8 <p 1 dtPi d 
du 5 ’ 7 du n 
J 
(49) 
8<P» dg> n ♦ , _ l<P n 
du x 7 duF 7 du„