297. Begriff des Kurvenintegrals 
§ 7. Kurvenintegrale. Integrale von Funktionen einer komplexen 
Variablen. 
297. Begriff des Kurvenintegrals. Es sei P(x,y), kurz P, 
eine Funktion der Variablen x, y, die für einen Bereich der xy-Ebene 
eindeutig definiert ist. Zieht man in diesem Bereich y 
einen Kurvenbogen AB (Fig. 150), so ist durch ihn ,, 
eine einfach, unendliche stetige Menge von Werten /\ \ 
der Funktion P herausgehoben. Wählt man auf dem a/ j i 
Bogen eine Folge von n + 1 Punkten A,..., M v _ l} 'T 
M vt ..., P, bezeichnet deren Koordinaten mit (a,, y 0 ), ! j 
• • (x v _ t , y v _i), {X v ,y v ),. . (b, y n ) und bildet auf 1 
dieser Grundlage die Summe Fig J50 . 
wobei d v = x v — x v _ 1; so bietet sich die Frage dar, welches Verhalten 
diese Summe bei fortschreitender Verdichtung der Punktfolge und stän 
diger Abnahme aller d ( . gegen Null zeigen wird. 
Diese Frage findet ihre Erledigung dadurch, daß sich die Summe (1) 
auf eine solche zurückführen läßt, in der eine Funktion von nur einer 
Variablen vorkommt. Dies ist in der Tat möglich, wenn y längs AB eine 
eindeutige Funktion von x, etwa y = cp(x), ist; denn dann verwandelt 
sich (1) in n 
und der Grenzwert hiervon ist (228, (18)) das bestimmte Integral 
Dies ist also zugleich der Grenzwert von (1), man bezeichnet ihn 
und nennt einen solchen analytischen Ausdruck ein Kurvenintegral. Sein 
Wert hängt nicht allein von den Endpunkten A, B, sondern auch von 
dem sie verbindenden Integrationsweg C ab.