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298. Umwandlung eines Flächemntegrals in ein Kurvenintegral 191 
Wir befassen uns nun mit den beiden Flächenintegralen 
A A 
Bei der Zerlegung von A in rechteckige Elemente schreibt sich das erste 
jäxjf y dy 
und gibt nach Ausführung der ersten Integration, die längs der zur y- 
Achse parallelen Transversale im Abstande x erfolgt, 
J sdx{ — P(x, y x ) + PO, y 2 ) — P(x, y s ) 4- PO, IU)}, 
wenn y x , y 2 , y s , z/ 4 die Ordinaten der Punkte M lf M%, M 3) M± sind, in 
welchen die genannte Transversale in das Grebiet A eintritt, bzw. aus ihm 
austritt; e ist ein Zeichenfaktor, +1. Beachtet man nun, daß clx bei der 
Verfolgung des Randes in dem vorgezeichneten Sinne an den Eintritts 
stellen M x , 31 s positiv, an den Austrittsstellen M 2 , aber negativ ist, 
so werden alle Teile des letzten Intcgranden mit negativem Zeichen ver 
sehen sein, d. h. es ist r?,v C 
Jry dA --J Pd ^ ^ 
A C, C' 
das rechtsseitige Kurven integral längs des ganzen Randes von A in dem 
vorgezeichneten Sinne genommen. 
Für das zweite Flächenintegral erhält man bei analogem Verfahren 
zunächst die Darstellung 
Jdy j || dx =*jsay{— Q(x x , y) + Q(x 2 , y) - Q(x s , y) 
+ QOd, y) - QOs» y) + GOe; y))> 
wobei x x , . . ., x 6 die Abszissen der Ein-'und Austrittspunkte der zur 
rr-Achse parallelen Transversale im Abstande y bedeuten. Beachtet man, 
daß bei Einhaltung der vorgezeichneten Randrichtung dy an den Ein 
trittsstellen JVj, JV 3 , _ZVg negativ, an den Austrittstellen JV 8 , W 4 , iV 6 aber 
positiv zu nehmen ist, so erkennt man, daß alle Teile des letzten Inte- 
granden das positive Zeichen erhalten, daß also 
wo bezüglich des rechtsstehenden Kurvenintegrals dasselbe zu bemerken 
ist wie vorhin.