300. Integral einer Funktion einer komplexen Variablen 
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und somit j —= Jd(p = 2tc, 
K 0 
also wohl wieder unabhängig von r, weil für alle derartigen Kreise (und 
geschlossene Linien überhaupt) gleich, aber nicht Null. 
300. Integral einer Funktion einer komplexen Variablen. 
Die reelle Variable x findet ihre Darstellung in einer Geraden, der 
#-Aehse, der Integrationsweg eines bestimmten Integrals, das sich auf 
eine Funktion dieser Variablen bezieht, ist durch die Grenzen schon be 
stimmt, es ist die zwischen den Grenzen liegende Strecke der x-Achse. 
Nicht so ist es bei der komplexen Variablen z = x -f- iy und einem 
Integral, das sich auf eine Funktion derselben bezieht. Die Variable z 
findet ihre Darstellung in einer Ebene, der xy- oder £-Ebene, und der 
Integrationsweg ist mit den Grenzen z 0 = x Q + iy 0 , e i == x i + nicht 
auch schon gegeben. Vielmehr können zwischen x 0 /y 0 und x 1 /y 1 unend 
lich viele Integrationswege verzeichnet werden. 
Es sei f(z) — u -f- iv und A das Gebiet, 
auf welchem u, v eindeutig und stetig sind und 
partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen; 
dann ist f{z) auf eben demselben Gebiet eine 
eindeutige und stetige analytische Funktion 
(101). Ferner sei C irgend ein die Punkte 
z 0 , z 1 verbindender ganz in A verlaufender Weg 
(Fig. 155). Das längs dieses Weges gebildete 
Integral von f(js) hat den folgenden Sinn. Es ist 
J f{z) dz = f (u -f iv) (dx -f iäy) =J (iidx — vdy) -f ij \vdx-\-udy). (10) 
CG C C 
Aber die auf der rechten Seite auftretenden Kurvenintegrale sind 
kraft der Eigenschaften einer analytischen Funktion von dem Verlauf 
des Integrationsweges unabhängig und schon durch dessen Endpunkte 
bestimmt; denn vermöge dieser Eigenschaften ist 
du dv 
dy dx 
und hierdurch ist die Unabhängigkeit des ersten Integrals von dem Ver 
lauf von G dargetan, und aus du ^ dv 
dx dy 
folgt die Unabhängigkeit des zweiten. 
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