Dies gibt den nach Cauehy, der ihn zuerst ausgesprochen und be 
wiesen hat 1 ), benannten Integralsatz, wonach das Integral J*f(z)dz, ge 
nommen längs eines in dem Bereiche, auf welchem f(z) eine eindeutige und 
stetige analytische Funktion ist, von z 0 bis z 1 verlaufenden Weges unab 
hängig ist von dessen übrigem Verlauf. 
Dieser Satz rechtfertigt es, wenn man das Integral ebenso bezeichnet 
wie das einer Funktion der reellen Variablen durch bloße Hinzufügung 
der Grenzen, also schreibt 
j f(z) dz, 
ohne den Integrationsweg ersichtlich zu machen. 
Faßt man die obere Grenze als variabel auf und bezeichnet sie dem 
gemäß mit z, so stellt das Integral eine Funktion dieser Grenze dar, von 
der sich nachweisen läßt, daß auch sie eine analytische Funktion ist. 
Denn im Sinne von (10) ist 
(*/y) 
V = j (vdx-\-udy) ; 
(*o/Vo) 
d u __ 
dr_ 
dx • 
u, 
dy 
dü_ 
-V, 
dV_ 
dy 
dx 
dU__ 
dv 
dx 
dy 
dü_ 
_dv 
dy 
dx 
U -f i V als analytische Funktion gekennzeichnet ist. 
1) Ein anderer Beweis, der dem Gedankengange Cauehys folgt, wird in der 
Variationsrechnung gegeben werden. — Eine elementare Theorie der Kurvenintegrale 
und einen darauf gestützten Beweis des Cauchy sehen Integralsatzes hat A.Prings- 
heim entwickelt in den Sitzungsber. d. k. bayr. Akad. d. Wissensch., Bd. XXV 
(1895), p. 39—72. Daselbst auch einschlägige historische Daten.