302. Pole einer analytischen Funktion 199 
liehen Grenze sich nähert*, mit andern Worten, in einem Pol wird f{z) 
unendlich von einer angebbaren Ordnung in bezug auf . Die Zahl n 
bezeichnet die Ordnung (oder Multiplizität) des Pols. 
Eine Funktion, die Pole besitzt und mit Ausschluß derselben holo 
morph ist, nennt man meromorph. Das einfachste Beispiel einer sol 
chen ist eine rationale gebrochene Funktion von z\ ihre Pole sind die 
Nullstellen (oder Wurzeln) des Nenners. 
In 301 war f(z) als eine holomorphe Funktion vorausgesetzt; dann 
ist Y— i e ^ ne meromor ph e Funktion mit dem einzigen und einfachen 
Pol z 0 . 
Ist wieder f(z) holomorph in einem Gebiet, dem die Punkte z 0 , z x 
f(z) 
angehören, so ist ^ _ z ) (' — -) meromor P^ mit den einfachen Polen z üf z x , 
f(z) .° 1 . 
' w - meromorph mit dem einzigen zweifachen Pol z 0 , u. ä. 
(z z 0 )■ 
In 300 ist gezeigt worden, daß das Integral einer holomorphen 
Funktion, genommen längs der ganzen Umrandung eines Gebiets, auf 
dem sie diese Eigenschaft besitzt, den Wert Null hat. Nicht so verhält 
es sich, wenn die Funktion meromorph ist. 
Um den einfachsten Fall dieser Art vorzuführen, sei f(z) eine in dem 
Gebiet A, das durch eine einfache Randkurve C begrenzt sein und die 
Punkte z lf e i} . .. z n enthalten soll, holomorph; dann ist die Funktion 
. m 
(* — *!)(* — *,)• • •(« — *„) 
daselbst meromorph und hat die genannten Punkte zu einfachen Polen 
dabei ist vorausgesetzt, daß sich darunter keine Wurzel von f(z) findet. 
Nach den rein algebraischen Sätzen über die Zerlegung einer ratio 
nalen gebrochenen Funktion ist 
1 _j ^2 _. 
(z — z x ) (z — z 3 )... (z — z n ) z — z x z ~ z 2 ' z — z n ’ 
was die Zähler anlangt, so gilt für sie die allgemeine Formel (239): 
A x = , 
wenn F(z) = (z — z x ) (z — z 2 ) . . . (z — z n ) gesetzt wird. Mithin hat man 
m _ i m i m _ _i m , 
F(z) F’{z x ) z — z x F’(*,) z — z^ F'(z n ) g — z n 5