202 III. Abschnitt. § 7; Kurvenintegrale. Integrale komplexer Funktionen 
von dem zweiten Integral läßt sich in derselben Weise wie vorhin nach- 
weisen, daß es mit unbegrenzt wachsendem R gegen Null konvergiert; 
somit bleibt als Resultat: « 
x'dx n 
x* + 1 j/2 
3. Transformiert man das Integral 
o 
das bei a > 1 einen bestimmten Wert bat, durch die Substitution 
e tx = z, woraus dx = —, 
1Z 7 
COS# 
so gebt es über in 
und während x das Intervall (0, 2it) durchläuft, beschreibt der Punkt g, 
da seine Koordinaten £ = cos#, rj — sin# sind, den Umfang eines Kreises 
vom Radius 1, beginnend rechts in der #-Achse. Innerhalb dieses Kreises 
liegt von den beiden Wurzeln des Nenners nur die eine — a — 1, 
während die andere, — a —]/a 2 — 1, außerhalb desselben fällt, wie man 
an den reziproken Werten leicht erkennt. Das jener Wurzel als Pol der 
gebrochenen Punktion entsprechende Residuum ist 
2 
mithin hat das Integral, mit Weglassung des Faktors ~j , den Wert 
—==; folglich ist 
)/« ! — 1 
4. Die Funktion e~* ist holomorph in jedem Teil der Ebene; in 
folgedessen ist ihr Integral längs irgendeiner geschlossenen Linie gleich 
Null. Wählt man als solche das Rechteck AB CD, Fig. 158, so führt 
dies zu dem Ansätze: 
a 
b 
— a 
0