204 ID. Abschnitt. § 7. Kurvenintegrale. Integrale komplexer Funktionen 
eich mit lim r — 0 der Grenze 
o 
i j* dcp = 
7t 
nähert; somit hat man (285, 1.) 
y sin xdx / *: 
ttl 
sin xdx 
X 
6. Das Integral 
o 
v ~ x dz 
+ Z 
bezieht sich bei 0 <p < 1 auf eine Funktion mit Unendlichkeitsstellen 
nämlich ,0 = 0 und $ = —1; mit Ausschluß 
dieser ist die Funktion holomorph. Bildet 
man also ihr Integral längs einer geschlossenen 
Linie, die diese Stellen ausschließt, so hat es 
den Wert Null. Eine solche Linie ist in Fig. 160 
dargestellt; sie besteht aus Strecken der x-Achse 
und den drei Halbkreisen k 2 ,ß 3 , die mit den 
Radien r lf r 2 , r 3 aus den Punkten — 1 und 0 beschrieben sein mögen. 
Es gilt somit der Ansatz: 
f‘sc p ~ x dx fz p ~ x dz f*x p ~ x dx f*z p ~ x dz Cx p ~ x dx f*z p ~ 1 dz , 
J T+^+J -T+T+J T+T+J -t+r+J -r-pr +J T+r-°> 
— r, k x — l + r x k, r % Ar, 
die Richtung der Integration ist durch Pfeile angezeigt. 
Läßt man, was zulässig ist, r x und r 2 gegen Null konvergieren und 
r 3 unbegrenzt wachsen, so schließen sich die drei reellen Integrale zu 
J 
’ x p ' 
1 X 
zusammen. Führt man weiter in den Kreisintegralen Polarkoordinaten 
aus — 1, bzw. 0 ein, so verwandelt sich der Integrand des ersten in 
(r x d ( P— Vf~ x idcp und konvergiert bei abnehmendem r t gegen 
(— 1 y > ~ 1 id<p = e( p ~ 1 ' )ni idcp, folglich ist 
o 
lim■J‘~ ] — ie {J> - X)7ti J d(p = — Ttid^~ X)ni = nie pni .