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III. Abschnitt. § 8. Analytische Anwendungen 
1*0? 1 dx n 
/ 1 -\- x sin p Tt 
(0<P<1) 
o 
(vgl. hierzu 305). 
§ 8. Analytische Anwendungen. 
304. D ie Eulerschen Integrale. Unter den durch Integrale 
dargestellten Funktionen sind wegen ihrer vielfachen analytischen An 
wendungen die Beta- und die Gammafunktion von besonderer Bedeutung, 
so genannt nach den Buchstaben, die zu ihrer Bezeichnung verwendet 
worden sind. Die Betafunktion, eine Funktion zweier Argumente, ist 
ausgedrückt durch 
i 
(1) 
o 
die Gammafunktion, nur von einem Argument abhängig, durch 
co 
(2) 
o 
Die rechtsstehenden Integrale heißen das Euler sehe Integral erster, 
bzw. zweiter Gattung. Beide Definitionen gelten aus Gründen, die in § 2 
dieses Abschnittes entwickelt worden sind, nur mit gewissen Einschrän 
kungen: es müssen p, q, a positiv sein. 
Für ganzzahlige p, q, a sind die Integrale bereits 269, 5. und 277, 2. 
ausgewertet worden und es ergab sich für das zweite Integral eine Fa 
kultät, nämlich (a — 1)! 1 ). für das erste Integral ein aus Fakultäten 
(P — P ! (g — 1) ! 
(i> + « — 1)! 
• Gerade dieser 
zusammengesetzter Ausdruck, nämlich 
Zusammenhang mit den Fakultäten war es, der Euler zur Aufstellung 
und Untersuchung dieser Integrale geführt hatte und der ihre große 
Wichtigkeit begründet. 
Außer den Definitionsformen (1), (2) gibt es noch verschiedene 
andere, und da für die Zwecke der Untersuchung bald die eine, bald die 
1) Das Gaußsche Zeichen für jT(a) ist das Produktzeichen IT(a — 1) und 
paßt sich diesem speziellen Falle an.