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17. Abschnitt. § 1. Quadratur ebener Kurven 
Die näehstliegende Verallgemeinerung der Formel (1), welche aber 
keine wesentliche Änderung des analytischen Vorganges nach sich zieht, 
ergibt sich bei Zugrundelegung eines schiefwinkligen Koordinatensystems. 
An die Stelle des Flächendifferentials 
ydx, 
welches dem Rechtecke PP'NM entspricht, tritt nun, wenn 0 der Ko 
ordinatenwinkel, das Flächendifferential 
sin dydx 
als Ausdruck für das entsprechende Parallelogramm, und die Fläche ist 
S == sin 6 fydx. 
(2) 
Handelt es sich um eine von der Kurve umschlossene Fläche 
(Fig. 167 a), und gehören zu einer 
zwei Ordinaten y v y 2f von welchen 
y 1 die algebraisch größere, so ist 
ohne Rücksicht auf die Lage der 
Abszissenachse 
Oi - to) dx 
das Flächendifferential und 
u 
S ^J Ol ~ ft) dx 
(3) 
die Fläche selbst. Diese Formel gilt auch dann, wenn es sich um eine 
von zwei verschiedenen Kurven y 1 = /j (x), y 2 = f 2 {x) begrenzte Fläche 
handelt. 
Wird jedoch die Grenzkurve in gewissen Intervallen von der Ordi- 
natenlinie in mehr als zwei Punkten geschnitten, so ist eine Teilung des 
Integrationsgebietes notwendig. Beispielsweise gilt im Falle der Fig. 167 b 
ohne weitere Erklärung: 
cd b 
s V £ .A dx + f* (Jlf 4 Jlf 3 + M 2 Mf) dx -\-j N 2 N x dx. 
a c d 
Indessen läßt sich jede von einer geschlossenen Kurve, die sich nicht 
selbst durchschneidet, umgrenzte Fläche durch ein Integral darstellen,