K 
-X 
6. Quadratur des Gartesischen Blattes. Bezüglich dieser Kurve, die 
in 129, 3. und 143, 1. diskutiert worden ist, legen wir uns zwei Fragen 
vor: nach der Größe der Schleife (Fig. 172), und danach, ob der zwischen 
dem unendlichen Aste und der Asymptote enthal 
tene Streifen der Ebene eine bestimmte Größe hat. 
Die Lösung dieser Fragen mit Hilfe der 
Gleichung & - 3 axy -f if = 0 (n > 0) 
in rechtwinkligen Koordinaten würde sich um 
ständlich gestalten, weil die Auflösung nach y 
auf zusammengesetzte Wurzelausdrücke führt. 
Mit Hilfe der parametrischen Gleichungen, 
die sich aus der Substitution y — ux ergeben und lauten: 
iS au Sau 2 
X 1 -J- II s ’ y 1 -f- u s ’ 
erledigt sich die Frage wie folgt. Der bewegliche Punkt beschreibt die 
Schleife im umgekehrten Sinne des Uhrzeigers, während u das Intervall 
(0, oo) durchläuft; er muß sie in dem entgegengesetzten Sinne durch 
laufen, soll die Formel (5) die Fläche positiv ergeben; daher ist die 
Fläche der Schleife 
2 u R )du 
9a? /“’<> 
-j- U s ) f 
(3 — 2(1 -j- u 3 ))du 
(1 -f u* 
3 u 2 
+ 
3 (1 -}- w s ) 
2 1 
' L 2(1 + U S )* 1 3 hfîi 
T _ 3 2 
2(1 -f u'y ' 3 u s _L 2 ° ‘ 
In Polarkoordinaten, 0 als Pol und OX als Polarachse genommen, 
lautet die Gleichung der Kurve: 
3 a cos cp sin cp 
cos 3 cp -f- sin 3 cp 
und die ihrer Asymptote: r