311. Beispiele 
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Für die Fläche der Schleife ergibt sich der Ausdruck 
n 71 
2 2 ' 
o 0a 2 I cos 2 qp sm s qpdqp 3a 2 C d(tg*<p) 
0 2 J (cos 8 qp -f- sin 3 qp) s 2 J (1-f tg s qp) s 7 
0 0 
der wieder den oben gefundenen Wert liefert. Für einen Sektor zwischen 
der Asymptote und der Kurve, wie er in der Figur durch Schraffierung 
augedeutet ist, erhält man 
<p i 
S 
ff 1 - - 
9 cos* ф зт 2 ф ~] 
2 J L(eos ф -f- sin ф) 2 
(cos 2 ф -j- 8т 3 ф)*п 
<fo 
V 
_ а 2 I rd(l -j- tgqp) o^(l "Ь tg s qp)~] 
2 J L(1 + tg cp)* (l + tg 3 <p) s J 
ф 0 
_ er i 1 3 |</>o a 2 f tg s qp — tg ф — 2|Vo_ 
2 ( 1 -j- tg ф 1-f- tg* ф I {p x 2 t i -f- tg 3 cp i </>i ’ 
da Zähler und Nenner des Bruches durch tg <p -f- 1 teilbar sind, hat man 
mit Ausschluß der unteren Grenze ~ 
o = а 2 Г tg- ф 0 — 2 tg ф, — 2 1' 
2 Ltg ф 0 a — tg ф 0 -f- 1 tg 2 ф, — tg ф,1J 
Mit ф, = ж und lim qp 0 = ^ -f- 0 ergibt sich hieraus die zwischen 
dem unendlichen Kurvenaste, der Asymptote und über ÖX' liegende 
Fläche gleich ebensogroß ist, vermöge der Symmetrie, die zwischen 
der Asymptote, dem unendlichen Kurvenaste und rechts von OY' gele- 
gene Fläche; da endlich auch das Dreieck ОБА den Inhalt — hat, 30 
ist die zwischen der Asymptote und der Kurve enthaltene Fläche 
S t = ~ ebensogroß wie die Schleife. 
7. Die Fläche zwischen einem Kurvenbogen AB, den 
Krümmungsradien AG, BD seiner Endpunkte und dem 
zugehörigen Bogen CB der Evolute zu bestimmen (Fig. 173). 
Das Element dieser Fläche, durch die Krümmungs 
radien zweier sehr nahen Punkte M, M! und die Bögen 
MM", SISl' begrenzt, kann bis auf Größen höherer als der 
ersten Ordnung als ein gleichschenkliges Dreieck vom 
(ji Pig. 173. 
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