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i 3. Bande 1
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228. Geometrische Interpretation des bestimmten Integrals 9
auf Grund der Formel (15) eingelien, sollen spezielle Formen der darin
auftretenden Summe gebildet werden. Dies möge jedoch an der Hand
der geometrischen Interpretation des bestimmten Integrals geschehen.
Der Gleichung y = fix),
in welcher fix) eine stetige Funktion bedeutet, entspricht eine Kurve
CD (Fig. 129); dem Intervalle (a, b) eine Strecke
AB in der Abszissenachse; dem Teilintervalle
(x v _ i} x v ) eine Teilstrecke PP' von AB] dem Zwi
schenwerte § v ein Punkt Q' auf PP'] dem Funk-
tionswerte /’(£,,) die Ordinate Q Q', von der wir bei
der folgenden Betrachtung annehmen, daß sie in
dem Bereiche («, b) beständig positiv sei. Mithin
ist das Produkt d v f(% r ) = PP' ■ QQ' (17)
die Fläche des Rechtecks mit der Basis PP und
der Höhe QQ', und die Summe
i
die Summe der gleichartigen über allen Teilen von AB errichteten Recht
ecke. Unabhängig von der Wahl der Zwischenpunkte Q konvergiert
diese Rechteckssumme bei fortschreitender Teilung von AB gegen einen
bestimmten endlichen Grenzwert
b
I fix) dx.
a
Diesen Grenzwert erklärt man naturgemäß als die Fläche der teilweise
von der Kurve begrenzten Figur ABDC.
Es löst demnach das bestimmte Integral eine Aulgabe der Geo
metrie, welche der elementaren Mathematik unzugänglich ist: die Berech
nung der Fläche oder die Quadratur einer krummlinig begrenzten Figur.
Aus dieser geometrischen Aufgabe bat Leibniz den Begriff des bestimm
ten Integrals entwickelt.
Fällt /*(§,,) negativ aus und setzt man ein für allemal voraus, daß
die Werte x 0 , x lf x«, . . ., x n steigend geordnet und somit alle Ö r positiv
sind, so gibt Formel (17) die negative Flächenzabl des betreffenden Recht
ecks. Wenn daher die Kurve CD innerhalb des Bereichs (a, b) teils über,
teils unter der Abszissenachse liegt, so liefert das Integral die algebraische
