312. Flächensätze über Fußpunktkurven und Rollkurven 
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2=2[fei- P>) 2 + {y-, - 2/o) 2 ] +2x2üa z (x x - x 0 ) 
+ 2 y 2*x fei ~ Vo) + fe 2 + r) 2; 
der erste Teil rechts bedeutet die Summe U in bezug auf S, die beiden 
folgenden Teile verschwinden mit Rücksicht auf (2), der dritte endlich 
ist das mit der Summe der Zahlen a multiplizierte Quadrat die Entfer 
nung SP, die s heißen möge; damit schreibt sich diese Entwicklung 
2 P =2 S -f s 3 2 a i • (3) 
Hieran liest man aufs neue ab, daß U P den kleinsten Wert annimmt 
bei s = 0, also wenn P mit S zusammenfällt, aber darüber hinaus die 
Tatsache, daß 2 P für alle Punkte P, die auf einem um S beschriebenen 
Kreise liegen, denselben Wert besitzt, und daß die Differenz U P — U s im 
Verhältnis des Quadrats von s zunimmt. 
b) Es sei A x , A 2 , .. . A n ein geschlossenes konvexes Polygon; a x 
cc 2 , ... a n seien die Nebenwinkel seiner Innenwinkel; F heiße seine 
Fläche. Fällt man aus einem Punkte P Lote auf die Seiten des Poly 
gons, so bestimmen ihre Fußpunkte B t , B 2 , ... B n wieder ein geschlos 
senes konvexes Polygon von derselben Seitenzahl; 
seine Fläche heiße & P . Wir fragen darnach, bei 
weicher Lage von P wird <P P am kleinsten oder 
größten. 
Wir ziehen zu diesem Zwecke die Strecken 
zwischen P und den Ecken A 1} A 2 , ... A n und 
bezeichnen ihre Längen mit a 1 ,a 2 ,... a n , Fig. 175. 
Die Differenz 2AB 1 PB,-B 1 PB 5 A 1 ist der Fig ' 175 ‘ 
Größe nach durch das Doppelte des AB i C 1 B 6 dargestellt, wo C x den 
Mittelpunkt von A t P, also auch den Mittelpunkt des Kreises bedeutet, 
der dem Viereck A 1 B 1 PB 5 umschrieben ist; denn diese Differenz ergibt 
sich zunächst in der Form des Vierecks B 1 A l B 5 Q, dessen Eckpunkt Q 
durch Verdoppelung von PB entsteht; da nun 
BG X = BP — a ~ 
QA= QD-A 1 D = nP--DG',) 
= DP-(-f--DP+- 
-2 (DP-•£■),