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IY. Abschnitt. § 1. Quadratur ebener Kurven 
so ist in der Tat B X A X B,Q doppelt so groß als das Dreieck B L C X B,; 
dieses aber kommt gleich -§• af sin 2%; mithin ist 
2AB X PB, — 
B 1 
PB, 
A- 
= i 
a x 2 
sin 
2 
2AB 2 PB X ~ 
PB X 
A 2 = 
sin 
2 
u 2 
2 A B s PB 2 — 
B, 
pb 2 
A- 
«3 2 
sin 
2 
u s 
2AB i PB, — 
PB, 
A, = 
= i 
4 
< 
sin 
2 
u x 
2AB 6 PB i — 
*6 
PB■ 
A = 
aff 
sin 
2 
u 5 
Durch Addition folgt daraus 
2 — F = 12Oi sin 2 u x , (4) 
und dies gilt sinngemäß bei beliebig vielen Seiten. 
Durch den Satz a) ist die gestellte Frage schon beantwortet; denn 
auf der rechten Seite steht eine Summe von der dort betrachteten Art, 
nur sind die positiven Zahlen jetzt durch die Sinus der doppelten Neben 
winkel an den Ecken vertreten. 
Bas Fußpunktenpolygon hat also den kleinsten Inhalt, ivenn P mit 
dem Mittelpunkt S der mit den Sinus der doppelten Nebenwinkel begabten 
Ecken des gegebenen Polygons zusammenfällt. 
Alle Fußpunktpolygone, die aus Punkten P entspringen, welche auf 
einem um S beschriebenen Kreise liegen, haben gleiche Flächen. 
Aus Fig. 176 geht hervor, daß 
a \ = &i 2 -f s 3 — cos (b 1 s)‘, 
wendet man diese Umformung auf alle aff an, so 
Fig. 176. zerfällt die rechte Seite von (4) in 
J5V sin 2u x + s 2 sin 2a x — 2sjfb x sin 2u z cos (b x s)-, 
der letzte Teil verschwindet, denn bff sin 2 cc x in der Richtung s dif 
ferenziert gibt 
2 /f bi sin 2<xi — 2 ^ bi sin 2cci cos (bis), 
f 3 
s \& 
andererseits Null, weil die differentiierte Summe ein Minimum bedeutet; 
hiernach kann statt (4) auch geschrieben werden 
2®p— F= bi 2 sin 2cci + { s 2 Jfsin 2ui. 
Fällt P mit S zusammen, so wird s = 0, und man erhält 
(5)