Summe der positiv gezählten Fläehenteile über und der negativ gezählten 
Flächenteile unter der Abszissenachse, also in Fig. 130 den Wert 
AEC-EGF 4-FBD. 
Da die Wahl der Zwischenpunkte Q willkürlich 
ist, so kann auch P oder P' (Fig 129) dafür genom 
men werden; damit ergeben sich die folgenden spe 
ziellen Formen der Summe S: 
(18) (19) 
die erste mit den Anfang sw er ten der Funktion, die zweite mit den End 
werten gebildet. 
Weil ferner die Art der Intervallteilung ohne Einfluß auf den Grenz 
wert ist, so kann man die Teile auch gleich machen; dann ist 
& — a ^ 
n 
ein solcher Teil, a, a 4~ h, a -f 2h,. . ., b 
die Wertreihe, welche die Teilung bestimmt, und entsprechend den Formen 
(18), (19) ergeben sich folgende Definitionen für das bestimmte Integral: 
f ‘f(x) dx = lim {h(f(d) + f(a -f- h) -f- • • • 4- f(b — h))} 
* ' I> A 
k= 0 
und / f(x) dx = lim {h (/'(« 4- h) -f- f(a A 2 h) -f • • • -f- /*(&))} 
a 
Formel (20) bestimmt die Fläche AB DG als Grenzwert der Summe 
der inneren Rechtecke P' M, Formel (21) als Grenzwert der Summe der 
äußeren Rechtecke PJIP; diese Benennung ist jedoch angepaßt dem in 
Fig. 129 dargestellten Falle, wo die Kurve CD steigt: sie würde sich 
umkehren, wenn die Kurve fiele; bei einer bald steigenden, bald fallen 
den Kurve werden in beiden Darstellungsformen sowohl äußere als auch 
innere Rechtecke Vorkommen.