813. Mechanische Quadratur 
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Neben der meebaniseben Quadratur einer gezeichneten Kurve durch 
Rechnung kennt man auch eine solche mittels besonderer Mechanismen 
(Planimeter); diese schließen wir aus dem Rahmen unserer Ausfüh 
rungen aus. 
I. Das nächstliegende Hilfsmittel zur Berechnung eines bestimmten 
Integrals b 
J f(x)äx 
a 
ergibt sich unmittelbar aus dessen Definition (228); teilt man das Inter 
vall (a, h) in n gleiche Teile h = , so konvergiert sowohl der Aus- 
druck x =r»-i 
h 'S f(a -f vJi), 
* = o 
y. = 71 
als auch \ hJSf(a -f xh) 
X = 1 
für lim h = 0 (nh — b — a) gegen den durch das Integral definierten 
Wert, so daß näherungsweise gesetzt werden darf: 
b 
f f(x)dx ~ h[f(a) + f(a + K)-\ b f(h — A)] (1) 
a 
wie auch 
b 
j f(x)dx ~ h[f(a + h) + f(a + 2Ä) H + /*(&)]; (2) 
a 
der Ansatz ist um so zutreffender, je kleiner h, also je größer n ge 
nommen wurde. 
Ist y = f{x) durch eine Kurve dargestellt, so mögen ein für allemal 
die zu den Abszissen a , a + h,... a + xh,. .. 
gehörigen Ordinaten mit y 0 , 
bezeichnet werden. Diese Darstellung lehrt auf einen Blick, daß bei einer 
beständig wachsenden Funktion die Formel (1) eirien zu kleinen, (2) da 
gegen einen zu großen Wert für das Integral liefert, und daß bei einer 
beständig abnehmendenjfunktion gerade das Umgekehrte stattfindet. 
Daher darf man unter allen Umständen erwarten, daß sich das arith 
metische Mittel der beiden Ausdrücke (1) und (2) dem strengen Werte