258 IV. Abschnitt. § 1. Quadratur ebener Kurven 
ersetzt, die mit ihr eine entsprechende Anzahl vorgeschriebener Punkte 
gemein hat. 
Der Ausführung dieser Methode schicken wir einen Satz voraus, der 
auch in anderen Fällen nützliche Anwendung gestattet. 
Ist cp(x) eine game Funktion höchstens vom dritten Grade, so gilt in 
aller Strenge b 
j <p (x)dx = h ~ Q a [<p («) + 4 rp (-^-) + <p (&)], (8) 
a 
so daß der Wert des Integrals aus den beiden Endwerten und dem mittleren 
Werte der Funktion berechnet werden kann. 
Führt man nämlich in dem Integral die lineare Substitution 
durch, so geht g>(x) wieder in eine ganze Funktion höchstens dritten 
Grades von t: 
A + Bt + Ct*+Dt* f 
dx in —dt über und die Grenzen der neuen Integration sind — 1, 
-f 1, so daß 
b 1 
f l p(x)dx- b -^ j (.A + Bt+Ct*+Dt*)dt-(b-a)(A +~); 
a —■ 1 
da nun den Werten a, b von x der Reihe nach die Werte — 1,0,1 
von t entsprechen, so ist 
<p(a) = A — B + G-D 
<p(b)^A + B+C + D- 
daraus folgt cp (a) -f 4 (~4r~) + (p(b) = 6A 2C 
und weiter A + y = y [<P («) + 4gj + ?>(&)]; 
damit ist die Formel (8) tatsächlich als richtig erwiesen. Man überzeugt 
sich leicht, daß sie in Geltung bleibt, auch wenn cp(x) von niedrigerem 
als dem dritten Grade ist.