229. Beispiele direkter Ausrechnung bestimmter Integrale 
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'ählten 
Irlich 
Ottoni, 
in spe- 
(19) 
i End- 
Örenz- 
229. Beispiele direkter Ausrechnung bestimmter Inte- 
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grale. 1. Behufs Ermittlung des Integrals f x*dx hat man zufolge (20) 
den Grenzwert von 
^[a 3 + (a + !> ~) 2 + ( a + 2 ^T ? ) +"'+(«+'»- 1 ^ir)] 
für lim w== oo zu bestimmen; dieser Ausdruck verwandelt sich nach Aus 
führung der Quadrate in 
^[»a ä + 2a ^~ a) (i -f 2 + • • • + n-l) -f (^) 2 (! 2 + 2 2 + • • • + n -l 2 )] 
= h ~ H [na 2 + a(b-a)(n-1) + {b-af 1 -^ z= ^] 
== (fe - a) [a 2 + a(b-a) (l ■- ±) + ( ^- (l - ~)- (»- £)]; 
demnach ist sein Grenzwert 
(b — a)a 2 + a(b~af -f 
armen so ¿ a g a j so 
:egral: 
(20) 
(21) 
jnmme 
.me der 
dem in 
:de siel 
i fallen 
do auch 
I x 2 dx 
b 3 — a s 
3 
2. Zur Wertbestimmung des Integrals j a x dx hat man den Grenz- 
wert von 
h[a a -j- + M b a a + n ~ lh ] 
für lim ft = 0 mit der Maßgabe zu bilden,, daß nh = ß — a ist; nun läßt 
sich dieser Ausdruck umformen in 
und da lim 
a a h( 1 + a h -\- d 2h -f • • • + a n ~ lh ) 
a h — 1 
a a Mct! lh — 1) a?— a c< 
a h — 1 
a h — 1 
~~T~ 
A = 0 
la (109, 2.), so hat man 
fa-dx - 
la 
3. Die Ausrechnung des Iutegrals f sin x dx kommt auf die Be- 
a 
Stimmung des Grenzwertes von 
ft [sin a -f- sin (a -f ft) -f • • • -j- sin (a -f- w — lft)]