314. Allgemeine Formeln 
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X 
Hat nun f(cc) an jeder Stelle von (a, b) einen Differentialquotienten, 
so ist dem Mittelwertsatze (88) zufolge 
fM - /K-1) = 0V“®r-l)f'(£v) 
für v = 1, 2,. . n\ bezeichnet dabei einen bestimmten Wert zwischen 
| v _ 1 und Unter diesen Voraussetzungen ist die Länge des Polygons 
n 
yi+rdj 2 - 
i 
Nach 226 aber konvergiert dieser Ausdruck, während n beständig 
wächst und jedes x v —x v _ 1 =<5 V gegen Null abnimmt, gegen eine be 
stimmte Grenze, nämlich gegen den Integralwert 
6 
I ]/1 -j- f'(xf dx, 
a 
wenn nur Y1 -f f{xf, also auch f'(x), eine in dem Intervalle (a, b) end 
liche und stetige Funktion ist. Der Definition gemäß ist also die Länge 
des Bogens M 0 M n ausgedrückt durch 
b 
s = j ]/l + y' 2 dx, (1) 
a 
kurz gesagt, durch das Integral des Bogendifferentials. 
Weil der Grenzwert der obigen Summe derselbe bleibt, wenn man 
die durch beliebige Zwischenwerte ersetzt, so gilt Y 
der Satz: Zieht man an die Bogenstücke M 0 M 1} 
M x M Sf .. .,M n _ x M n (Fig. 188) in beliebigen Punk 
ten äftj, • . •, Tangenten und begrenzt 
diese durch die benachbarten Teilungsordinaten, so 
ist der Grenzwert der Summe dieser Tangenten 
stücke unabhängig von der Wahl der Zwischen- -^ 
punkte und gleich der Länge des ganzen Bogens. 
Führt man an Stelle von x eine neue Variable u ein durch die Sub 
stitution x = x(ii), 
wodurch vermöge der Kurvengleichung auch 
y = y(«) 
wird, so kommt an die Stelle von y' der Quotient —^ (43, II.) und an