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IV. Abschnitt. § 2. Rektifikation von Kurven 
die Stelle von dx der Ausdruck x'(u)du; wird der zu rektifizierende I 
Bogen beschrieben, während u das Intervall (a, ß) durchläuft, so ist 
ß, 
s ==J Yx (u)-+ y (u)* du, (2) 
iX 
eine Formel, die bei parametrischer Darstellung der Kurve zur Anwen 
dung kommt. 
Der Fall polarer Koordinaten kann als besonderer Fall von diesem 
angesehen werden; ist nämlich r = f(cp) die Gleichung der Kurve, so 
können auf Grund derselben und der Transformationsgleichungen: 
x = r COS Cp 
y = r sin (p 
x und y als Funktionen von cp aufgef'aßt werden, und es ist 
X (cp) = — r sin cp + r COS cp 
y (cp) — r cos cp -f r sin cp; 
daraus folgt ^'(gp) 2 ^- y'(cp) 2 == r 2 + r' s , 
so daß, wenn a, ß die den beiden Endpunkten des Bogens entsprechenden 
Werte von cp bedeuten, /* 
s = j ]/r 2 + r 2 dcp ist. (3) \ 
a 
Auf Raumkurven läßt sich die an die Spitze dieses Artikels gestellte 
Definition der Bogenlänge ohne weiteres übertragen und führt, wenn 
man y und z als Funktionen von x darstellt, zu der Formel: 
h 
s ==y ]/l -b y' 2 -j- z 2 dx. (4) 
a 
Dieselbe gestaltet sich wie oben um in 
ß 
s=y yV(it) 8 + y\u) 2j r z(x)-du, (5) 
cc 
wenn x und infolgedessen auch y und z als Funktionen eines Parameters 
u dargestellt werden. 
Als besonderer Fall sei eine sphärische Kurve erwähnt; ist a der 
Halbmesser der Kugel, auf der sie liegt, wird das Zentrum der Kugel als 
Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt, so ist die 
Kurve in räumlichen Polarkoordinaten durch