315 Beispiele 
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e = f{cp) 
bestimmt; auf Grund dessen und der Transformationsgleiehungen: 
X = r sin 6 cos cp 
y = r sin 6 sin cp 
z = r cos 6 
können x, y, z als Funktionen von cp betrachtet werden, und es ist: 
x'(cp) = a cos 6 cos cp ■ 8' — a sin 8 sin cp 
y'W) — a cos ö sin <p • 8' -p « sin 8 cos cp 
z (cp) = — a sin 8 • 0'; 
daraus folgt a:'(<p) 2 + y’Wf + /(y) 2 = -j- a 2 sin 2 8 
und vermöge (5) s — a j ]/0' 2 + sin 2 8- dcp; 
(6) 
a 
8' ist der Differentialquotient von 6 in bezug auf cp, und cc, ß sind die den 
Endpunkten des Bogens zugehörigen Werte von cp. 
Die Elemente der Integrale (1), (2), (3), (5) sind schon an anderen 
Stellen (154, 155, 175) als Rogendifferentiale abgeleitet, definiert und 
geometrisch gedeutet worden. 
315. Beispiele. 1. Rektifikation der Parabel. Unter den Kegel 
schnitten ist es neben dem Kreise nur noch die Parabel, deren Rektifi 
kation auf ein elementares Integral führt. Bei geeigneter Wahl des Ko 
ordinatenSystems ist x 2 =2py 
die Gleichung der Parabel; aus ihr folgt y = ~; und laut (1) ist 
/ X 
X 
0 
0 
die Länge des im Scheitel beginnenden Bogens, dessen Endpunkt die 
Abszisse x hat; die zweite Form geht aus der ersten durch die Substitution 
X 
hervor. 
P 
Das auszuführende Integral ist nach dem Zusatz zu Formel (31), 
253, gleich 
« 
|/l -j- id + — l (w + ]/l -f- w 2 ); 
mithin ist 
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