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IV. Abschnitt. § 2. Rektifikation von Kurven 
der Ellipse gleichkommt; die Reihenentwicklung eines solchen Integrals 
ist in 281, 7. yorgenommen worden. Insbesondere hat man nach den 
dortigen Entwicklungen für den Ellipsenquadranten den Ausdruck: 
7t 
2 
(C) 
0 
0 
Wie der Tabelle an der zitierten Stelle entnommen werden kann, 
ist der Wert des vollständigen elliptischen Integrals beispielsweise bei 
£= — gleich 1,4675, folglich der Umfang einer Ellipse mit den Halb 
achsen a und ■|-‘j/3 gleich 5,870 ... a. 
Da b <]/a 2 cos 2 gp + & 2 sin 2 <p<a, 
wie man sich überzeugt, wenn man unter der Wurzel einmal a durch b 
ein zweites Mal b durch a ersetzt, so ist auch 
2 7t 
0 
vermöge der Form (A) drückt aber das Integral den Umfang E der El 
lipse aus; dieser liegt also, wie es auch der Augenschein lehrt, zwischen 
den Umfängen des eingeschriebenen und des umgeschriebenen Kreises. 
Wir werfen nun die Frage auf, in welcher Größenbeziehung E zu 
dem arithmetischen Mittel dieser beiden Umfänge, d. i. zu %(a + b), steht. 
Da %(a-\-b) durch Integration von a cos 2 cp -f b sin 2 <p auf dem Intervalle 
(0, 2 st) entsteht, so bilden wir 
]/a 2 cos 2 (p -f 6 2 sin 2 cp — (a cos 2 cp -f- b sin 2 cp) 
Ci 2 COS 2 qp -j- & 2 sin 2 qp — (a cos 2 qp -f- & sin 2 qp) 2 
a cos 2 qp -f- b sin 2 qp -j- "j/a 2 cos 2 qp -f- sin 2 qp 
sin 2 qp COS 2 qp 
a cos 2 qp -f- & sin 2 qp -[- ]/« 2 cos 2 qp -f- & 2 sin 2 qp ’ 
daraus folgt durch Integration von 0 bis 2tc\ 
E — %{a -f- b) 
a cos 2 qp 4- & sin 2 <jP 4- l/« 2 cos 2 qp fr 2 sin 2 qp 
a cos 2 qp 4- & sin 2 <jP 4- l/« 2 cos 2 qp fr 2 sin 2 qp 
0 
(a-bfJ,