12 I. Abschnitt. § 1. Das bestimmte und das unbestimmte integral 
für lim h = 0 und nh = b — a zurück. Die eiugeklammerte Summe läßt 
sich wie folgt umgestalten. Geht man von der Formel 
2 sin (a -f Ich) sin ~ — cos (a-\- 2 -. 2 h) — cos (a + ——— h'j 
aus und wendet sie auf h = 0, 1, . . ., n — 1 an, so ergibt sich das Glei 
ch ungssystem: 
2 sin (a -j- w — 1 h) sin 
cos 
/ 
h\ 
/ h \ 
(°- 
t)- 
- COS (ff -f- 2 J 
(fl -)- 
/ , Sh\ 
t) - 
- cos 1 a J r J 
/ 
2 m — 
2 n — 1 
2 
*) 
und durch seine Summierung die Gleichung: 
2 sin h } [sin a -f sin (a -f h) -f • • • -f sin (a -j- n — 1 fe)] 
= cos (a — cos (a + 21 h), 
sin a + sin (a + h) -f • • • -j- sin [a + n — 1 h) 
woraus 
nh 
2 . / w —lft 
/, ”i‘+ ! 
Ci“ -;-) 
Es bleibt also der Grenzwert von 
/i 
0 . b — a 2 
2 sm —-— —=- sm 
2 . h 
sm —- 
2 
zu bestimmen, und dieser ist (16, 2.) 
o - h — a . b 4- a , 
2 sm ——— sm —^— = cos a — cos b. 
b 
Demnach ist / sin x äx — cos a — cos b . 
a 
b 
Auf analogem Wege läßt sich auch j cos x äx ermitteln. 
a 
230. F undamentale Eigenschaften des bestimmten Inte 
grals. Aus dem Begriffe des bestimmten Integrals lassen sich einige