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IV. Abschnitt. § 2. Rektifikation von Kurven 
Ordnet man das Koordinatensystem in der ans Fig. 185 ersichtlichen 
Weise an, wählt die Exzentrizität als Längeneinheit, bezeichnet die reelle 
Halbachse (< 1) mit Tc, so schreibt sich die Gleichung der Hyperbel 
v 2 x 2 
= 1. 
Führt man einen Parameter cp ein durch die 
Substitution x — (1 — Ä; 2 ) tg cp, 
k^S {cp) 
so wird 
y = 
COS cp 
wenu man sich der üblichen Abkürzung 
A (cp) = ]/I — 7c 2 sin 2 cp 
bedient. Aus dieser parametrischen Darstellung 
berechnet sich 
ds 
(1 —k*)dcp _ 
COS 2 Cp J{cp) ’ 
somit ist der im Scheitel A beginnende und bis zum 
Punkte M mit dem Parameterwert cp reichende Bogen ausgedrückt durch 
s = (1 — Jc s ) j 
dcp 
cos 2 cp (cp) 
(a) 
Partielle Integration ergibt 
f dcp 
J COS® Cp Ä 
y 
cp J {cp) 
tg Cp /'ft 2 si 
Av) J z 
sin 2 cp dcp 
J\cp) 
0 0 
und wenn man beachtet, daß & 2 sin 2 cp = 1 — A 2 (cp), so ist weiter 
/- 
J c 
dcp 
COS 2 Ç5 J{cp) 
tgcp 
A {cp) 
% % 
! I dcp I dip 
' J Äv) 
0) 
Zur Vollendung bedarf es noch der Entwicklung des letztangeschrie- 
benen Integrals. Geht man zu diesem Zweck von der Differentialformel 
7 1 ft 2 sin cp cos cp dcp 
aus, multipliziert sie mit Je 2 sin cp cos cp und integriert sodann, indem man 
links partielle Integration anwendet, so entsteht 
1c 2 sin Cp cos Cp 
J{cp) 
ft 2 (cos 2 qp — sin 2 gp)c?cp 
J{cp) 
J 
ft 4 sin 2 cp oos 2 cp dcp 
4*(q>) :