274. Integrale unendlich werdender Funktionen 
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für welche 
bis an die 
obere Grenze b, an welcher sie den Wert F(b) annehmen möge, so ist 
x' 
lim ff(x) dx = lim F(x) —F(a) = F{b) — F(a) 
x' = b — 0 a x'-b-O 
b 
und daher Jf{ x ) dx — F(b) — F(a), (3) 
a 
so daß auch in diesem Falle der Hauptsatz der Integralrechnung Gültig 
keit hat. 
Wird die Funktion fix) statt an der oberen an der unteren Grenze 
unendlich, also bei dem Grenzübergange lim x r = a + 0, so ist der Glei 
chung (1) entsprechend zu definieren 
b b 
(fix) dx = lim ( f(x)dx, (4) 
a x ' = a + Op 
vorausgesetzt, daß der rechts angeschriebene Grenzwert wirklich existiert. 
Fällt der Unendlichkeitspunkt von f(x) in das Innere des Intervalls 
an eine Stelle c, so hat man (a, b) zu zerlegen in die Teilintervalle (a, c) 
(c, b) und dementsprechend zu setzen: 
b x' b 
(f{x) dx = lim / f{x) dx -j- lim f*f(x) dx, (5) 
a x'=c-0 a x" = c+ 0*» 
wenn die beiden Grenzwerte auf der rechten Seite wirklich vorhanden 
sind-, die beiderseitigen Grenzübergänge zu c sollen unabhängig vonein 
ander sein. 1 ) 
Es bedarf keiner weiteren Bemerkung, wie man sich zu benehmen 
hätte, wenn die Funktion f(x) an mehreren vereinzelten Stellen von (a, b) 
unendlich werden sollte. 
Beispiele. 1. Das Integral 
o 
bezieht sich auf eine Funktion, die an der oberen Grenze unendlich wird; 
1) Existiert ein Wert des Integrals nur dann, wenn die beiden Grenzüber 
gänge in bestimmter Weise voneinander abhängen, so spricht man nach Cauchy 
(Werke, Bd. I, S. 402) von einem singulären und insbesondere vom Hauptwert des 
Integrals, wenn beständig c — x — x" — c ist. Integrale solcher Art können eine 
allgemeine Bedeutung nicht beanspruchen. 
8* 
/, 
dx 
l/l — x*