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ÌV. Abschnitt. § 3. Kubatur krummfiächig begrenzter Körper 
V = 
2 71 
nj*(a — b cos uf du 
= 7t {a 3 u — 3a 2 b sin m + y ab*(u + sin u cos u) — 5 2 sin u ^1 — J 
— Tt' 2 a(2a 2 -f- 36 2 ). 
Bei der gemeinen Zykloide vereinfacht sich dieses Resultat zn öjr 2 « 3 ; bei 
der verkürzten Zykloide entstehen zwei Volumina, wovon das eine in dem 
andern eingeschlossen ist. Um das äußere Volumen allein zu erhalten, 
hat man die untere Integrationsgrenze durch das aus dem Ansätze 
0 == au 0 — b sinw 0 resultierend« u 0 zu ersetzen (vgl. 311, 4.). 
Anmerkung. Schreibt man die Formel (9) in der Gestalt 
b 
v = 2 7t J --ydx, 
a 
so erkennt man in dem Integral, das neben 2% steht, das statische Mo 
ment der Figur ABDC (Fig. 190) in bezug auf OX, das auch gleich 
kommt dem Produkte aus der Fläche S der Figur mit der Ordinate Y 
ihres Schwerpunktes E] hiernach ist auch 
v = 2 TtY-S. (10) 
In dieser Formel spricht sich die nach Guldin benannte Regel 1 ) aus, 
■wonach das von einer Figur des Flächeninhalts S bei voller Rotation be 
schriebene Volumen gleichlwmmt dem eines Zylinders von der Basis S und 
einer Höhe, welche dem Umfang des vom Schwerpunkte der Figur beschrie 
benen Kreises gleich ist. 
Bei bekanntem S und Y dient die Formel (10) zur Kubatur, bei be 
kanntem v und S zur Schwerpunktbestimmung. 
So hat der von dem Kreise (Fig. 191) beschriebene 
Torus (195, 3.) das Volumen 
-x v = 2tiR • 7tr* = 2Tt 2 Rr 2 (R ^ r)' y 
nig. i9i. hingegen ergibt sich aus dem oben gefundenen Volumen 
des Umdrehungskörpers der Zykloide und ihrer in 311, 4. berechneten 
Fläche S = 3?r« 2 die Schwerpunktsordinate 
1) Die Regel ist schon zu Ende des 3. Jahrli. n. Chr. von Pappus gefunden 
worden, dann aber in Vergessenheit geraten. Kepler gelangte in seiner Stereo 
metria doliorum (1615) wieder zu ihr, ohne sie zu formulieren. Den Namen hat 
sie von ihrem dritten Erfinder, Paul Guldin (Centrobaryca, Buch II, 1640).