230. Fundamentale Eigenschaften des bestimmten Integrals 
15 
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durch 
daraus ergibt sieh durch den Übergang zur Grenze 
l 11 
n 
n 
n 
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Die Formel kann auf jede endliche Anzahl von Summanden ausge 
dehnt und in allgemeiner Weise so geschrieben werden: 
ug der 
a 
a 
6. Zwischen dem kleinsten Werte m und dem größten Werte M, welche 
die Funktion f{x) in dem Intervalle (a, b) annimmt, liegt notwendig eine 
Zahl u derart, daß * 
(28) 
a 
Denn jede auf eine Unterteilung von (a, b) gegründete Summe S 
ist so beschaffen, daß (b — a)m < S < (b — d)M 
(226, 2.); diese Beziehung hält also auch der Grenzwert von S ein, d. h, 
es ist auch t> 
a 
Hieraus aber folgt die behauptete Gleichung (28). 
Ist die Funktion fix) stetig, so nimmt sie den W T ert ll mindestens 
an einer Stelle zwischen a und b auch wirklich an (17, 3,); eine solche 
Stelle kann man durch a + 0(b — a) darstellen, wenn 0 < 6 < 1 ist; folg 
lich kann dann der Formel (28) die Gestalt gegeben werden: 
(29) 
(26) 
a 
Die Zahl g findet unter dem Namen des Mittelwerts der Funktion 
in dem Intervall {a } b) vielfache praktische Anwendung. Diese Bezeich 
nung gründet sich auf folgenden Umstand. Legt man dem Integral die 
Definition 228, (20) zugrunde, so ist 
tenable 
u 
e 
n