324. Komplanationen mittels doppelter Integrale 
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20* 
Um ferner den zylindrischen Teil der Begrenzungsfläclie zu berech 
nen, hat man sich der Formel 321, (11) zu bedienen; dabei ist ds das 
Bogendifferential des Kreises r = a cos , 
also ds = ]/V 2 -j- r' 2 d(p = ad cp, ferner z derjenige Wert, welcher aus der 
Verbindung der beiden Gleichungen 
r = acos<p, z =]/a 2 — r 2 
hervorgeht, d. i. z = a sin cp. Der vierte Teil dieses Mantels ist sonach 
7t 
Y 
~ = a 2 J*3in (p d cp = a 2 
o 
und 
M = 4 a 2 . 
Demnach ist schließlich die gesamte Oberfläche des Körpers 
0 = S + H =2ita*, 
gleich der halben Oberfläche der Kugel. 1 ) 
3. In der xy-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems ist eine 
zu OY parallele Gerade LL' (Fig. 199) im Abstande 
OA = a gegeben, die aus 0 nach dieser Geraden ge 
zogenen Strahlen OP bilden die Durchmesser von 
Kreisen, deren Ebenen durch OZ gehen. Von der 
so entstandenen zyklischen Fläche ist jener Teil zu 
% Fig. 199. 
quadrieren, der zwischen dem kleinsten Kreise OBA / \ 
und dem Kreise OMP liegt. * 
Um die Gleichung der Fläche zu finden, beachte man, daß 
ON 2 + NM 2 = ON• OP; 
aus = ~ folgt aber OP = ~ ON, folglich ist weiter 
ON 2 + NM 2 = — ON 2 
X 
1) Das Problem der Berecbnung solcher Ausschnitte der Kugeloberfläche, 
wie sie hier betrachtet worden sind, ist zuerst 1692 von Viviani, einem Schüler 
Galileis, aufgestellt worden. Was an dem Problem hauptsächlich interessierte, 
ist der Umstand, daß der verbleibende Best der Halbkugelfläche quadrierbar 
ist im engeren Sinne, d. h. darstellbar durch ein inhaltsgleiches Quadrat 
(2Tra 2 — S = 4a 2 ).