326. Allgemeine Betrachtung 
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g) Den im ersten Raumoktanten liegenden Teil der Fläche 
£ 2 + {% cos a -j- y sin af — u 2 = 0 (Zylinderfläche). 
h) Zu zeigen, daß die Quadratur der Flächen 2az — x 2 + yf und 
xy auf ein und dasselbe Integral führt; insbesondere den Teil zu 
berechnen, welcher sich in den Kreis x 2 + ?/ 2 = a % projiziert. 
§ 5. Massen-, Moment- und Schwerpunktfoestimmnngen. 
326. Allgemeine Betrachtung. Bei den Anwendungen der In 
tegralrechnung auf die Mechanik stellen sich Probleme ein, die sich unter 
der folgenden analytischen Form zusammenfassen lassen: Es sei K ein 
stetiges geometrisches Gebilde — ein Körper, eine Fläche, eine Linie —, 
dK ein Element (Differential) desselben, cp eine stetige Funktion jener 
Argumente, welche die Lage von dK in Kbestimmen; verlangt wird der 
Wert des über das Gebilde K erstreckten Integrals von cpdK, also von 
(i) 
K 
Das Integral ist ein einfaches, doppeltes, dreifaches, je nachdem cp 
eine Funktion von ein, zwei, drei Variablen ist. Also nicht auf die An 
zahl der Dimensionen von K kommt es dabei an. 
Die Bedeutung des Integrals hängt von der Bedeutung des K und 
des cp ab. Allgemein kann man den Wert von (1) als das Resultat der 
Integration der Funktion cp durch das Gebiet K bezeichnen. 
Es sei noch bemerkt, daß in Erweiterung des Begriffs des Mittel 
wertes einer Funktion einer Variablen (270) in einem begrenzten Inter 
vall der Ausdruck 
K 
den Mittelwert der Funktion cp in dem Gebilde (Gebiete) K bedeutet. Ist 
z. B. F der Querschnitt durch ein fließendes Wasser, dF ein Element 
desselben, innerhalb dessen die Geschwindigkeit v der Wasserfäden als 
gleich angesehen werden kann, so heißt 
F 
die mittlere Geschwindigkeit in dem Querschnitt,