16 I. Abschnitt. § 1. Das bestimmte und das unbestimmte Integral 
die rechte Seite aber ist der Grenzwert des arithmetischen Mittels einer 
gleichmäßig über (a, b) verteilten Folge von Werten der Funktion, die 
linke Seite die in (28) erklärte Zahl g. Zugleich hat man zur Bestim 
mung von a die Formel: 
а 
Aus der Formel (29) kann gefolgert werden: Ist die Funktion fix) 
in dem Intervalle (a, b) niemals negativ (positiv), so hat das Integral 
ь 
( fix) dx dasselbe (entgegengesetzte) Vor seichen wie b — а. 
Hieraus darf weiter geschlossen werden: Ist а < b und f(x) cp (x) 
bei allen Werten von x aus dem Intervalle (a, b), ohne daß das Gleich- 
heitsseichen fortbestellt, so ist 
ь ь 
f fix)dx > f cp(x)dx. (31) 
а а 
Denn nach den gemachten Voraussetzungen ist b — а > 0 und f(x) — 
cp (x) > 0, folglich ь 
f \f( x ) ~ <p(x))dx > 0, 
а 
woraus sich mit Hilfe von (27) die obige Beziehung ergibt. 
7. Der Wert eines bestimmten Integrals ist von dem Zeichen für die 
Variable unabhängig; es ist also 
ь ь 
I fix) dx = I f(f)dt: 
а а 
a, b können zwei beliebige Zahlen aus dem Integrabilitätsbereiche (cc, ß) 
sein; hält man die eine, a, fest, denkt sich die andere variabel und be 
zeichnet sie demgemäß mit x, so hat zwar 
X 
ff(t)dt (32) 
а 
noch die Form, aber nicht mehr die strenge Bedeutung eines bestimmten 
Integrals; da zu jedem aus (cc, ß) stammenden Werte von x ein und nur 
«in bestimmter Wert von (32) gehört,- so kann man sagen: Ein Integral 
mit fester unterer und variabler oberer Grenze stellt eine eindeutige Funk-