314 IV. Abschnitt. § 5. Massen-, Moment- und Schwerpunktbestimmungen 
suchungen bilden. Bezeichnet man die Ebenen yz, zx, xy kurz mit rj, £, 
die Achsen mit x, y, z, den Ursprung mit o, so hat man 
= J^x 2 dm 
J n =ffdm 
J} = I z 2 dm, 
(13) 
wobei dm das Massenelement, x/y/z die Koordinaten eines seiner Punkte 
bedeuten und die Integrationen über alle Elemente zu erstrecken sind. 
Bei homogenen Massen kann die Dichtigkeit als konstant ausgeschieden 
und dm durch das Raumelement dv ersetzt werden. Wir denken hier 
nur an Massen im mechanischen Sinne; die Begriffe gelten aber auch für 
„Massen“ in erweitertem Sinne, also für elektrische und magnetische 
Massen, bei denen Qualitätsunterschiede Vorkommen, die im Vorzeichen 
Ausdruck finden. 
Des weiteren ist 
-jV+**)*»-«7, + 
Jy — j(z 2 -f- x‘ ä ) dm — J£ 
J z = / (x 2 -f- y 2 ) d m = + J r] 
und schließlich J 0 = f (x 2 + y 2 + z 2 )dm = -fi + J 
Daraus ergeben sich weitere Beziehungen, wie 
(14) 
(15) 
= J,= X-X (16) 
Jo = Wx + Jy + J 2 )- (II) 
Nimmt man an dem Koordinatensystem eine Translation vor derart, 
daß der neue Ursprung im alten System die Koordinaten a/b/c erhält, so 
wird das Trägheitsmoment in bezug auf die neue 0-Achse 
J~j = f /[(.^ — af + (y — &) 2 ] dm 
= t /(a’ 2 + y 2 )dm — 2a j*xdm — 2b Jydm + (a 2 -fi b' 2 )m- 
nehmen wir an, die ursprüngliche z- Achse sei durch den Schwerpunkt 
des Massensystems gegangen, dann sind jxdm, fydm gleich Null; ferner 
stellt a 2 + b 2 das Quadrat des Abstandes d der beiden Achsen dar; es 
besteht also die Beziehung Jb = «7, -f- d 2 •m, (18)