230. Fundamentale Eigenschaften des bestimmten Integrals 
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Gz nber, Vorlesungen. II. 1. An fl. 
Hon dieser letzteren Grenze dar; dieser Darstellung gemäß nennt man die 
durch (32) definierte Funktion eine Integralfunktion. 
Statt des Zeichens (32) wird mitunter auch die Schreibweise 
j f(x) dx (32*) 
a 
gebraucht: nur muß dann zwischen der Variablen unter dem Integral- 
0 7 O 
Zeichen — der Integrationsvariablen — und der variablen Grenze gehörig 
unterschieden werden. 
8. Das Integral einer endlichen Funktion f(t) ist eine stetige Funk 
tion der oberen Grenze. 
Sind a, x, x -j- h drei Werte aus dem Integrabilitätsbereiehe (a, ß), so ist 
x x + h x + h 
j +J f{t)dt = / fit)dt, 
a x a 
daraus f f(t)dt — j f(t)dt = f f(t)dt, 
a a x 
und für einen entsprechend ausgewählten Wert u zwischen dem kleinsten 
und größten Werte von f(t) in (x, x -f h): 
j f(t)dt — j f(t)dt — ha: (33) 
o a 
da g endlich ist, so konvergiert die rechte Beite mit h zugleich gegen 
Null: es ist also , x+n x . 
lim ! / f(f)dt — j f(t) dt [ = 0, 
* = ° ! « a ' ' 
womit die Stetigkeit erwiesen ist.; an einer Stelle x innerhalb («, ß) kann 
der letzte Grenzübergang beiderseitig (lim h = + 0) ausgeführt werden, 
bei a oder ß nur einseitig. 
9. Der Differentialquotient des Integrals einer stetigen Funktion in 
bezug auf die obere Grenze ist der zu dieser Grenze gehörige Wert der in 
tegrierten Funktion. 
Ist /(x) eine stetige Funktion, so kann die Gleichung (33) auch in 
der speziellen Form (29), d. i. 
J f(t)dt —J f(t)dt = hf(x -f Oh)