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IV. Abschnitt. § 6. Die Sätze von Green 
§ 6. Die Sätze von Oreen. 
338. Kurven-, Flächen- und Raumintegrale. Zufolge des 
Hauptsatzes der Integralrechnung läßt sich ein einfaches bestimmtes In 
tegral unmittelbar auswerten, wenn man eine Funktion angeben kann, 
deren Ableitung mit der Funktion unter dem Integralzeichen überein 
stimmt. Bemerkenswert ist dabei, daß man von dieser Funktion nur die 
Randwerte, d. h. die Werte an den Grenzen des Integrationsgebietes zu 
kennen braucht. 
Dieser Gedanke hat eine bedeutsame Fortbildung erfahren bei In 
tegralen, die sich über ein zweifach oder dreifach ausgedehntes Gebiet 
erstrecken. Die bezüglichen Formeln und Sätze haben für einzelne Teile 
der Mechanik und Physik, so für die Potentialtheorie, die Theorie der 
Elektrizität und des Magnetismus, große Bedeutung erlangt. Sie sollen 
hier im Zusammenhänge entwickelt werden. 
In 298 ist die Umwandlung eines Flächenintegrals in ein Kurven 
integral ausgeführt worden; die dort gefundenen Resultate (6), (7), (8) 
mögen nun in abgeänderter Gestalt von neuem aufgenommen werden. 
Es seien X, Y zwei in dem ebenen Gebiete, Fig. 208, eindeutige und 
stetige Funktionen von x, auch ihren ersten partiellen Ableitungen 
sollen dieselben Eigenschaften zukommen. Dann ist, wenn der gesamte 
Rand von P mit s bezeichnet und an den 
dort erörterten Richtungsbestimmungen fest 
gehalten wird, entsprechend den eben zitier 
ten Formeln (6) und (7): 
Y 
p 
0 
p 
Fig. 208. 
Nun sei t die in der positiven Randrichtung gezogene Tangente im 
Punkte M, n die innere Normale zum Rand daselbst, ds das in der posi 
tiven Richtung anstoßende Randelement (Bogendiiferential); dann hat 
man für die Differentiale der Koordinaten von M die Ausdrücke: 
d.x = ds cos (xt), dy — ds sin (xt). 
Aus den Winkelrelationen