333. Kurven-, Flächen- und Raumintegrale 
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(xt) -f- (tn) -f- (nx) = 0 
(xy) (yn) -f (nx) = 0 
folgt, da (iln) und (xy) je — betragen, 
(xt) = (xn) — y 
(xt) = (yn) 
cos (#£) == cos (yn), sin (xt) = — cos (xn), 
mithin ist dx = cos (yw), dy = — ds cos (a?w). 
Nach Einsetzung dieser Werte beißen die obigen Integralformeln: 
j 
p 
<a>l 
^ 1 
l 'Ö 
ii 
= — j*X cos (xn)ds 
a 
(i) 
J 
p 
*|Up- 
dy 
-- — j‘ Y cos (yn)ds, 
(2) 
und ihre Summe gibt: 
s 
J \dx dy) 
dP = — 
f [X cos (xn) -}- Y cos (yn)]ds. 
(I) 
P s 
Während man in dem Fläehenintegral links den Verlauf von 
Y 0 x 
i m g anzei i Gebiet P braucht, ist in dem Kurvenintegral rechts nur 
die Kenntnis des Verlaufs von X, Y am Rande erforderlich. 
Es seien ferner X, Y, Z drei nebst ihren partiellen Ableitungen 
erster Ordnung in dem Gebiet B eindeutige und stetige Funktionen von 
x > V) z ‘i $ die gesamte Begrenzung von B. Führt man in dem Raumintegral 
™dxdydz 
R 
die Integration nach x, also längs einer 
den Raum durchsetzenden Transver 
sale M 1 M 2 . . . (Fig. 209) parallel zur 
iC-Achse aus, so kommt man zu einem 
Doppelintegral mit dem Integranden 
(— X 1 -f X 2 )dydz, 
worin X 1} X 2 , . . . die Werte von X 
an den Stellen M,,M 2 ,... bedeuten. 
Y