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I. Abschnitt. § 1. Das bestimmte und das unbestimmte Integral 
geschrieben werden; daraus folgt 
f f(t)dt—f f(t)dt 
j -f(x + $h). 
der Grenzwert der linken Seite für lim h — + 0 ist der Differentialquo 
tient der Integralfunktion, der Grenzwert der rechten Seite vermöge der 
vorausgesetzten Stetigkeit /'(#); daher ist in der Tat 
X 
Djf(t)ät-f(x). (34) 
a 
An den Endstellen a, ß ist nur ein einseitiger Grenzübergang möglich. 
Durch Multiplikation dieser Gleichung mit dx, d. i. mit dem Diffe 
rential der oberen Grenze, ergibt sich: 
d j f(t)dt — f(x)dx. (85) 
a 
Diesen bestimmten Sinn hat die Aussage, daß die Zeichen d und J } wenn 
sie aufeinander folgen, sich aufheben. 
231. D as unbestimmte Integral. Mit dieser letzten Eigenschaft 
der Integralfunktion sind wir bei der Aufgabe wieder angelangt, welche 
in 225 als das Grundproblem der Integralrechnung bezeichnet worden 
ist. Es handelte sich darum, eine — selbstverständlich stetige — Funk 
tion zu finden, deren Differentialquotient an jeder Stelle x des Intervalls 
(ec, ß) dem zugehörigen Wert der gegebenen eindeutigen Funktion f(t) 
gleichkommt. Für den Fall, daß f(t) in dem Intervalle (cc, ß) stetig ist, 
hat man also in der Integralfunktion 
X 
fm** (36) 
a 
eine Lösung der Aufgabe, weil dann nach dem oben Bewiesenen 
X 
D X J f(t)dt = f(x). (37) 
a 
Aber es ist nicht die einzige Lösung der Aufgabe: denn auch jede 
Funktion von der Form « 
C+J'f(t)dt, (38)