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IV. Abschnitt. § 6. Die Sätze von Green 
es ist aber (47, (7)) 
dv , v . dv . , dv 
Jx cos (xn) + -~ d ~ cos (yn)- w 
der in der Richtung der inneren Normale gebildete Differentialquotient 
von V. Hiernach hat man: 
/££(m) 
Sind £7, V so beschaffen, daß auch 
v dü_ 
r > 
V 
dü 
dx* dy 
die oben bezüglich X, Y vorausgesetzten Eigenschaften besitzen, so führt 
der gleiche Vorgang zu der Formel: 
f/dUdv dudv\ r j7 dU , C- A rr7T> /T _ 
J fe + Si -Zy) dp = -j r W l ds -J Udp ■ ( IV ) 
P S P 
Durch diese zwei Formeln ist das linksstehende Flächenintegral auf 
zwei Arten in ein Kurvenintegral und ein anderes Flächenintegral umge 
wandelt. Dieses letztere entfällt, wenn £7. V den Bedingungsgleichungen 
^ 2 U=0, <d 2 V= 0 (5) 
genügen, wie dies bei manchen Anwendungen, z. B. in der Potential 
theorie, der Fall ist; dann hat man nämlich 
/( 
dü dV dUdV 
dx dx r dy dy 
) dp —f 
V dTJ -äs 
dn 
f 
T1-2F 7 
JJ-K-as. 
dn 
(V) 
Aus den Formeln (III), (IV) folgt die unter allen Umständen gültige 
Gleichung Jv\~)ds~ÜJ s V)dP, (VI) 
* P 
die wiederum bei Bestand der Bedingungen (5) zu 
f( u Z- v ^) äs =° ( vn > 
S 
Mit der Annahme £7 = V resultiert des weiteren aus (V) die Formel 
/[(£)’+Q> p --/ f (VIÜ) 
P s 
wobei nicht zu übersehen ist, daß bei ihr auch die Voraussetzung 
V = 0 odlt.