337. Das Potential und seine Ableitungen im Innenraum
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nere Normale in einem Punkte von dS und r die Verbindungslinie dieses
Punktes mit dem Aufpunkte. Mithin ist schließlich, da cos (rn) ein echter
Bruch, | jr| < ~ ■ (10)
Die nämliche Relation gilt auch für einen inneren Aufpunkt; denn
umschließt man ihn mit einer Kugel vom Radius 8, so ist für den außer
halb dieser Kugel befindlichen Körperteil, dessen Oberfläche sich nun
mehr aus S und 4?rd 2 zusammensetzt,
i TT- 1 ^ Qo(ß + 4л<? 2 ) '
\ У 1\< 2 ’
da diese Beziehung aufrecht bleibt, wie klein man auch 8 wählt, so gilt
auch für das Potential des ganzen Körpers die Relation (10).
Nun seien P, P' zwei Punkte im Innern des Körpers; man um
schließe beide mit einer Fläche б und teile so den Körper in einen äuße
ren m 1 und den von dieser Fläche umschlossenen inneren m 2 , bezeichne
deren Potentiale in P mit F lf F 2 , in P' mit V/, V 2 '; dann sind die Po
tentiale des ganzen Körpers in P und P':
У = Ух + r 2
V = Vi -f- V 2 , ihre Differenz
r-F=F 1 '-F 1 +F/-F 2 ; ,
die Differenz V t ' — V 1 kann durch fortgesetzte Annäherung von P' an P
beliebig klein gemacht werden, weil das Potential im Außenraum stetig
ist; die Differenz V 2 — F 2 kann durch Annäherung der Punkte und gleich
zeitige Zusammenziehung der Fläche б beliebig klein gemacht werden,
weil sowohl F 2 als auch V 2 dem Betrage nach unter liegt. Folglich
kann auch V— F beliebig klein gemacht werden, d. h. F ist auch im
Innenraum stetig. Die Betrachtung gilt auch, wenn P auf der Oberfläche
des Körpers angenommen wird, die Stetigkeit besteht also auch hier.
Es bleibt aber noch eine Frage zu erledigen, die dahin geht, ob nun
die Integrale (9) noch die Ausdrücke für die Komponenten darstellen;
denn sie sind aus F durch Differentiation unter dem Integralzeichen her
vorgegangen, eine Operation, die bei uneigentlichen Integralen nicht ohne
weiteres statthaft ist.
Zu diesem Zwecke führe man durch P(x/y/z) eine Parallele zu OX,
nehme darauf einen zweiten Punkt P\x /у/г) an und bestimme das Po-
