341. Mechanische Bedeutung des Potentials
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Es sei ein beliebiger und nicht homogener Körper und innerhalb
desselben ein Aufpunkt P gegeben; dem Ganzen liege ein rechtwinkliges
Koordinatensystem zugrunde. Unter der Voraussetzung, daß die Dichtig
keit in der Umgebung von P keine Unstetigkeit erleidet, kann man sich
eine so kleine, den Punkt P einschließende Kugel ausgeschieden denken,
daß innerhalb derselben die Masse als homogen und mit der am Punkte
P herrschenden Dichtigkeit p begabt angesehen werden kann. Heißt m 2
die Masse dieser Kugel, m l die übrige, m die ganze Masse, so giltlfür
die Potentiale V 2 , V lf V in P in bezug auf die drei unterschiedenen
Massen die Gleichung: V — V x -f- V 2 ,
der erste Klammerausdruck hat den Wert 0, weil P in bezug auf m t
außen liegt; der zweite Klammerausdruck nach dem eben behandelten
speziellen Falle den Wert — 4jrp; daher ist auch
d 2 v ffv
dx- dy* ' dz*
— 4#p.
Es besteht also die Poissonsche Gleichung auch hier, wenn unter
p die am Aufpunkte herrschende Dichtigkeit verstanden wird.
Im Außenraume gilt die Laplacesche Gleichung (6), im Innenraume
die Poissonsche Gleichung (20), an der Trennungsfläche keine von bei
den; letzteres gilt auch von Punkten im Innern, bei deren Überschreitung
die Dichtigkeit unstetig sich ändert, also an den Trennungsfiächen un
gleich dichter Massenteile. Diese Tatsachen hängen mit der an einem
besonderen Falle (338) schon erkannten Unstetigkeit der zweiten Ab
leitungen von V beim Übergange von außen nach innen und mit ihrem
an früherer Stelle (337, Schluß) schon erwähnten singulären Verhalten
zusammen.
Es mag noch bemerkt werden, daß die Laplacesche Gleichung als
besonderer Fall der Poissonschen angesehen werden kann, insofern an
einem äußern Punkte die Dichtigkeit der anziehenden Masse = 0 ist.
341. Mechanische Bedeutung des Potentials. Dem Potential
kommt eine wichtige mechanische Bedeutung zu, die selbst zum Aus
gangspunkt der Potentialtheorie genommen werden könnte. Sie ergibt
sich durch folgende Betrachtung.
