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V. Abschnitt. Differentialgleichungen 
Die Aufgabe, welche der Analysis einer solchen Öleichung oder einem 
System derartiger Gleichungen, einem Differentialsystem, gegenüber er 
wächst, besteht im engeren Sinne in der Aufsuchung aller solchen Funk 
tionen y, z,. . . im ersten, bzw. z, u,. . . im zweiten Falle, welche nebst 
ihren betreffenden Differentialquotienten die vorgelegten Differentialgleich 
ungen identisch, d. i. für alle Werte der unabhängigen Variablen erfüllen. 
Im weiteren Sinne richtet sich die Aufgabe dahin, aus den Differential 
gleichungen selbst Eigenschaften der durch sie definierten Funktionen 
zu gewinnen. 
Die durch die obigen Definitionen gekennzeichnete Scheidung in ge 
wöhnliche und partielle Differentialgleichungen drückt sich in der Theorie 
und Behandlung der Differentialgleichungen am schärfsten aus. 
Neben den gewöhnlichen und partiellen spricht man auch von totalen 
Differentialgleichungen und Systemen solcher. Man versteht unter einer 
totalen Differentialgleichung mit den Variablen x, y, z, . . . eine Gleichung, 
die zwischen diesen Variablen und ihren Differentialen dx, dy, dz, . , . 
besteht und in bezug auf die letzteren homogen ist mit einem positiven 
ganzen Homogenitätsgrade. Hiernach ist beispielsweise 
Xdx + Ydy + Zdz = 0, 
worin X, Y, Z im allgemeinen Funktionen von x, y, z bedeuten, eine totale 
Differentialgleichung ersten Grades: 
X x dx 2 + Y t dif + Z x dz* - 0 
X 2 dx 2 -f Y 2 dy 2 -j- Z 2 dz 2 = 0, 
wo über X 1} . . . X,, . . . dasselbe gilt, was vorhin über X,. . . gesagt 
wurde, ein System von zwei totalen Differentialgleichungen zweiten Grades. 
Hier wird zunächst keine Unterscheidung zwischen unabhängigen und 
abhängigen Variablen getroffen, und man kann die Aufgabe, die durch 
die Gleichung bzw. die Gleichungen gestellt ist, dahin formulieren^ es 
seien alle endlichen Gleichungen zwischen den Variablen herzustellen, die 
durch Differentiation nach eventueller algebraischer Umformung wieder 
zu den gegebenen Differentialgleichungen führen. 
Die vorstehenden Definitionen setzen uns in den Stand, Differential 
gleichungen bestimmter Art rein analytisch aufzustellen; es ist aber nichts 
darüber gesagt, welcher Natur die sachlichen Fragen sind, die zu Diffe 
rentialgleichungen Anlaß geben. Hierüber genüge an dieser Stelle die 
folgende Bemerkung.