346. Integrationskonstante. Anfangsbedingung 
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Daraus ergibt sich die wichtige Tatsache, daß ein einfach unendliches 
Kurvensystem analytisch in zweifacher Weise charakterisiert werden kann: 
durch eine endliche Gleichung zwischen den Variablen x, y und einem 
veränderlichen Parameter und durch eine Differentialgleichung erster Ord 
nung mit denselben zwei Variablen. 
346. Integrationskonstante. Anfangsbedingung. Unter der 
Voraussetzung, daß (344) y ' = (p ( X) y ) (2) 
durch eine eindeutige Funktion von x, y dargestellt ist, geht durch jeden 
Punkt des Bereichs von cp nur ein Linienelement, also auch nur eine In 
tegralkurve. Mithin muß das allgemeine Integral Fix, y, C) = 0, nach 
der Konstanten aufgelöst, auch zu einer eindeutigen Funktion von x, y 
führen: 
(6) 
C = y>(x, y). 
Längs einer Integralkurve behält C denselben Wert bei; von Kurve zu 
Kurve ändert es ihn. 
Will man jene Integralkurve haben, die durch einen gegebenen Punkt 
x 0 fy 0 hindurchgeht, so hat man C den besonderen Wert 
C 0 = il>(x 0 , y 0 ) 
C 0 = ip{x, y) 
gegeben und hat in 
die verlangte Kurve. Man nennt die Bedingung, durch welche aus dem 
allgemeinen ein partikuläres Integral herausgehoben wird, seine Anfangs 
bedingung. 
Ist co das Zeichen für irgendeine eindeutige Funktion und wendet 
man den ihr entsprechenden Prozeß auf (6) an, so entsteht 
co(C) = Gityix, ?/)]; 
die linke Seite hat einen bestimmten Wert C, die rechte stellt wieder 
eine eindeutige Funktion %(x, y) von x, y dar, 
%&, V) 
(7) 
ist eine andere Form des allgemeinen Integrals. 
Daß dem so ist, kann wie folgt bewiesen werden. 
Da nach Voraussetzung (6) das allgemeine Integral von (2) ist, muß 
sich aus 
(8) 
zu jedem xjy derselbe Wert von y ergeben wie aus (2). Aus (7) folgt 
aber