368 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
lieh ist, die Integrale durch die elementaren Funktionen in endlicher Form 
darzustellen oder nicht. 1 ) 
In manchen Fällen gelingt die Trennung der Variablen durch einen 
einfachen Rechnungsprozeß, wie z.'B. in dem Falle 
X t Y 2 dx -F X s Ygdy = 0, 
wo man nach Multiplikation mit -^y ei ’käit 
I? dx + ^ dy = 0. 
In anderen Fällen muß zu besonderen Hilfsmitteln gegriffen werden, die 
man unter dem Namen der Methode der Trennung der Variablen zusammen 
faßt 2 ). Unter diesen Hilfsmitteln ist die Einführung neuer Variablen das 
wichtigste. 
350. Beispiele. 1. Die Differentialgleichung 
dy , 3/*+! 0 
dx ' x 3 -f-1 
lautet nach Trennung der Variablen 
dx dy f 
und gibt zunächst arctg x -}- arctg y — C. 
Von dieser transzendenten Form kann man leicht zu einer algebraischen 
Form übergehen, wenn man die linke Bogensumme durch einen Bogen 
ersetzt und für C schreibt arctg c: es ist dann 
ar ctg ai 'ctg c, 
und daraus folgt VÍV _ c 
Auch bei den Differentialgleichungen 
dy = y dy ^ ]/l — y s = f) 
dx x’ dx~ yi _x 2 
1) Die ältere Auffassung des Integrationsproblems verlangte eine Lösung in 
der Form einer endlichen Verbindung der elementaren Funktionen; erst später er 
fuhr die Auffassung eine Erweiterung dahin, daß die Lösung auch unbestimmte 
Integrale enthalten dürfe (Lösung durch Quadraturen). 
2) Dieser Weg zur Lösung ist von Johann Bernoulli zuerst ausdrücklich 
hervorgehoben worden (Acta eruditorum, 1694).