374 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
b) Ql = . 
das (1 -{- # 2 ) ’ 
(Lösung: (1 -f # 2 )(1 -f- i/ 3 ) = O# 2 ). 
c) y*dx + (ocy — l)cfa/ = 0; 
(Lösung: y — Ge xy \ man benutze als Variable y und xy — v). 
351. Homogene Differentialgleichungen. In 348, 6. wurde be 
reits eine homogene Differentialgleichung als eine solche definiert, welche 
y als Funktion von — bestimmt, und gezeigt, daß ihr Integralkurven 
system bei den perspektivischen Transformationen aus dem Ursprung 
unverändert bleibt. Eine solche Gleichung entspringt aus der allgemei 
neren Form cp(x, y)dx y)dy = 0, (1) 
in welcher cp(x,y), ty(x,y) homogene Funktionen gleichen Grades vor 
stellen. Ist n dieser Grad, so is^ 
(p (x, y) = X n (p (1, |-j , 1{>(X, y) = X n v (l, : 
daher lautet (1) nach Unterdrückung des Faktors x n : 
<P (% ~) dx + (l, dy = 0. 
Führt man x und ~ = u als Variable ein *), so kommt man vermöge 
dy = udx -f xdu zu der neuen Form 
<p(l, u)dx -j- i>( 1, u)(udx 4- xdu) = 0, 
in welcher sich die Variablen trennen lassen wie folgt: 
der Beziehung 
dx 
+ 
ip(l, u)du 
X ' qp(l, U) -j- WI/jG, u) 
die Integration ergibt dann 
u)du 
-j- wip (1, u) 
Hat also die Gleichung die Gestalt 
Ix -f 
J qp(i,w)-f- 
Gesti 
0: 
c. 
so lautet die Lösung 
Ix 
/ du 
/'(«) - 
G. 
(2) 
(3) 
(4) 
1) Diese Substitution wird schon 1714 in einer Abhandlung von Gabriello 
Manfredi angegeben. Der Name „homogene Differentialgleichung“ erscheint zum 
erstenmal 1726 in einer Abhandlung Johann Bernoullis.