851. Homogene Differentialgleichungen 
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y 
Nach vollzogener Integration ist u wieder durch -- zu ersetzen. 
352. Beispiele. 1. Die Differentialgleichung 
{ax + by)dx -f {a'x + b'y)dy — 0 
läßt Lösung in endlicher Form zu. Denn nach (2) ist ihr Integral 
und die vorgeschriebene Integration ist nach den für die gebrochenen 
rationalen Funktionen ausgebildeten Methoden ansführbar. 
Auf den obigen Fall läßt sich die allgemeinere Gleichung 
{ax -f by + c)dx -f- {a'x -f b'y -j- c')dy = 0 
zurückführen, indem man 
* = + h V = y 0 + V 
setzt und die Konstanten x 0 , y 0 derart bestimmt, daß 
ax 0 +byo + c = 0 
ax 0 + b'y Q + c = 0 
wird; denn in den neuen Variablen |, tj lautet dann die Gleichung so wie 
vorhin. Der Sinn dieser Transformation ist der, daß das Kurvensystem 
jetzt nicht in bezug auf den Ursprung, sondern in bezug auf den Punkt 
xjy 0 perspektivische Umformung zuläßt. 
Eine derartige Bestimmung von x 0 , y 0 ist aber nur möglich, wenn 
, ! = ab' — ab *4= 0 
a o 
ist; findet hingegen y = y (= k) statt, so kann für die obige Gleichung 
{ax -{-by + c)dx + [1c {ax -f by) -f c']dy = 0 
geschrieben werden, und führt man jetzt x und ax -{-by — v als Variable 
ein, so ist die Trennung möglich; man hat nämlich 
b(v -j- c)dx + {kv -f- c){dv — adx) = 0 
2. Es sind Kurven zu bestimmen, bei welchen die Ursprungsordi 
nate der Tangente eine homogene lineare Funktion der Koordinaten des 
Berührungspunktes ist.