378 Y, Abschnitt. § 2. Xntegrationsmethoden für Differentialgleichungen 
«) t v + »*= 2 0 + y)* 
(Lösung: # 2 -f 2#?/ — i/ 2 = (7). 
ß) K - % = « + y- 
( Lösung: + xy 4- x*) = arctg + <?)• 
r) t y +n x =y-x. 
^Lösung: l(i/—xy + 2x s ) = arctg + C\ 
353. Exakte Differentialgleichungen, Wenn eine Differential 
gleichung erster Ordnung in der Form einer totalen Differentialgleichung- 
gegeben oder auf eine solche gebracht ist: 
M(x, y)dx -f N(x, y)dy = 0, (1) 
so kann es sein ; daß ihre linke Seite das exakte Differential einer noch 
unbekannten Funktion u(x, y) ist; für (1) kann dann 
du = 0 
geschrieben werden, woraus das allgemeine Integral 
u(x, y) = C folgt. (2) 
Ob dem so sei, läßt sich durch Differentiation entscheiden, und trifft 
die Voraussetzung zu, so kann die unbekannte Funktion durch Quadra 
turen hergestellt werden. 
In der Tat ist Mdx -f Ndy das totale Differential von u nur dann, 
wenn 
du 
dx 
-M, 
— Ar. 
cy ' 
dann aber muß 
dm _ 
cy 
dN 
dx 
(3) 
sein, weil beide Seiten dasselbe, nämlich , bedeuten. 
’ ’ oxdy’ 
Somit ist (1) nur dann eine „exakte Differentialgleichung“, wenn 
(3) erfüllt ist. 
Man findet dann aus — — M 
dx 
u = ¡Mdx -f- F; 
dabei wird die Integration an M nur in bezug auf x ausgeführt, als ob 
y konstant wäre, weshalb auch die Integrationskonstante Y im allge 
meinen als Funktion yon y vorausgesetzt werden muß; durch Differen 
tiation ergibt sich daraus